مدلسازی امواج الکترومغناطیسی و ساختارهای تناوبی

ما اغلب می خواهیم یک موج الکترومغناطیسی (نور، مایکروویو) را که بر روی ساختارهای تناوبی مانند توری های پراش، فرامواد یا سطوح انتخابی فرکانس وارد می شود، مدل سازی کنیم. این کار را می توان با استفاده از ماژول های RF یا Wave Optics از مجموعه محصولات COMSOL انجام داد. هر دو ماژول شرایط مرزی دوره‌ای Floquet و پورت‌های تناوبی را فراهم می‌کنند و سفارشات پراش بازتابی و ارسالی را به عنوان تابعی از زوایای برخورد و طول موج محاسبه می‌کنند. این پست وبلاگ مفاهیم پشت این نوع تجزیه و تحلیل را معرفی می کند و مجموعه چنین مشکلاتی را شرح می دهد.

سناریو

ابتدا، بیایید یک حجم موازی از فضای آزاد را در نظر بگیریم که نشان‌دهنده یک سلول واحد به طور متناوب با یک موج صاف است که با زاویه از آن عبور می‌کند، همانطور که در زیر نشان داده شده است:

بردار موج فرودی،، دارای قدر مؤلفه است:،، ودر سیستم مختصات جهانی این مشکل را می توان با استفاده از شرایط مرزی دوره ای در طرفین دامنه و شرایط مرزی پورت در بالا و پایین مدل کرد. پیچیده ترین بخش تنظیم مشکل، تعیین جهت و قطبی شدن موج ورودی و خروجی است.

تعریف جهت موج

اگرچه نرم‌افزار COMSOL به اندازه‌ای انعطاف‌پذیر است که امکان تعریف سیستم مختصات پایه را فراهم می‌کند، در این پست، یکی را انتخاب می‌کنیم و از آن استفاده می‌کنیم. جهت نور فرودی با دو زاویه مشخص می شود:و; و دو بردار،، نرمال رو به بیرون فضای مدل سازی و، یک بردار در صفحه وقوع. قراردادی که ما در اینجا انتخاب می کنیم، تراز کردن استبه محور x سراسری و تراز کردنبا محور z جهانی . بنابراین، زاویه بین بردار موج موج ورودی و محور z جهانی است, زاویه تابش ارتفاع , که در آنبا، به معنای بروز طبیعی است. زاویه بین بردار موج فرودی و محور x سراسری، زاویه برخورد ازیموتال است .، که در محدوده قرار دارد،. در نتیجه این تعریف، ارزش های مثبت هر دوونشان می دهد که موج در جهت مثبت x و y حرکت می کند.

برای استفاده از تعریف بالا جهت وقوع، باید آن را مشخص کنیمبردار این کار با انتخاب یک نقطه مرجع پورت دوره ای انجام می شود که باید یکی از نقاط گوشه پورت حادثه باشد. نرم افزار از لبه های درون صفحه ای که از این نقطه بیرون می آیند برای تعریف دو بردار استفاده می کند.و، به طوری که. در شکل زیر چهار مورد از را مشاهده می کنیموکه این شرط را برآورده می کند. بنابراین، هنگام نگاه کردن به محور z و سطح ، نقطه مرجع پورت دوره ای در درگاه جانبی ورودی باید نقطه پایین سمت چپ صفحه xy باشد. با انتخاب این نقطه،بردار با محور x سراسری تراز می شود .

حالا کهوبه دلیل انتخاب نقطه مرجع پورت دوره ای، در سمت حادثه تعریف شده است، پورت در سمت خروجی دامنه مدل سازی نیز باید تعریف شود. بردار معمولی،، در جهت مخالف قرار می گیرد، بنابراین انتخاب نقطه مرجع بندر دوره ای باید تنظیم شود. هیچ یک از چهار نقطه گوشه مجموعه ای از را نمی دهدوکه با بردارهای سمت حادثه همسو هستند، بنابراین باید یکی از چهار نقطه را انتخاب کنیم و تعاریف خود را ازو. با انتخاب یک نقطه مرجع پورت دوره ای در سمت خروجی که به طور قطری مخالف نقطه انتخاب شده در سمت ورودی است و اعمال یکچرخش به، جهت ازچرخانده شده است به، که در جهت مخالف استدر سمت حادثه در نتیجه این چرخش،ودر سمت خروجی دامنه مدل سازی به علامت سوئیچ می شوند.

در مرحله بعد، یک دامنه مدل سازی را در نظر بگیرید که نشان دهنده یک نیمه فضای دی الکتریک با کنتراست ضریب شکست بین دو طرف پورت ورودی و خروجی است که باعث تغییر جهت موج می شود، همانطور که در زیر نشان داده شده است. از قانون اسنل می دانیم که زاویه شکست است. این به ما امکان می دهد جهت بردار موج را در درگاه خروجی محاسبه کنیم. همچنین، توجه داشته باشید که این رابطه حتی اگر لایه های دی الکتریک اضافی بین دو نیمه فاصله وجود داشته باشد، برقرار است.

به طور خلاصه، برای تعریف جهت حرکت موج صفحه ای که از یک سلول واحد عبور می کند، ابتدا باید دو نقطه را انتخاب کنیم، نقاط مرجع پریودیک پورت، که در دو طرف ورودی و خروجی کاملاً مخالف یکدیگر هستند. این نقاط بردارها را مشخص می کنندو. به عنوان یک نتیجه،ودر سمت ورودی را می توان با توجه به سیستم مختصات جهانی تعریف کرد. در سمت خروجی، زوایای جهت تبدیل می شوند:و.

تعریف قطبی شدن

موج هواپیمای ورودی می‌تواند در یکی از دو قطبش باشد، با میدان الکتریکی یا مغناطیسی موازی با صفحه xy . تمام قطبش های دیگر، مانند دایره ای یا بیضوی، می توانند از ترکیب خطی این دو ساخته شوند. شکل زیر مورد را نشان می دهد، با میدان مغناطیسی موازی با صفحه xy. برای مورد، دامنه میدان مغناطیسی در درگاه های ورودی و خروجی استدر سیستم مختصات جهانی همانطور که تیر به گونه ای می چرخد ​​که، دامنه میدان مغناطیسی می شود. برای قطبش متعامد، قدر میدان الکتریکی در ورودی را می توان به طور مشابه تعریف کرد. در پورت خروجی، اجزای میدان در صفحه xy را می توان به همین ترتیب تعریف کرد.

تا اینجا، ما دیدیم که چگونه می‌توان جهت و قطبش یک موج صفحه‌ای را که در یک سلول واحد حول یک رابط دی الکتریک منتشر می‌شود، تعریف کرد. می‌توانید نمونه‌ای از این مدل را در گالری مدل ببینید که مطابقت را با معادلات فرنل به‌دست‌آمده تحلیلی نشان می‌دهد .

تعریف دستورات پراش

در مرحله بعد، بیایید بررسی کنیم که چه اتفاقی می‌افتد وقتی ساختاری با تناوب را در حوزه مدل‌سازی معرفی می‌کنیم. یک موج هواپیما را در نظر بگیریدروی یک ساختار تناوبی که در زیر نشان داده شده است. اگر طول موج در مقایسه با فاصله توری به اندازه کافی کوتاه باشد، یک یا چند مرتبه پراش می تواند وجود داشته باشد. برای درک این ترتیبات پراش، باید به صفحه تعریف شده توسط the نگاه کنیموبردارها و همچنین در صفحه تعریف شده توسطوبردارها

اول، ظاهر عادی به هواپیمای تعریف شده توسطو، می بینیم که می تواند یک حالت مرتبه صفر ارسالی با جهتی که توسط قانون اسنل تعریف شده است وجود داشته باشد ^که در بالا توضیح داده شد. ^{همچنین یک جزء منعکس شده مرتبه} 0 وجود دارد . همچنین ممکن است مقداری جذب در ساختار وجود داشته باشد، اما در اینجا تصویری وجود ندارد. شکل زیر فقط حالت ارسال مرتبه ^{صفر را نشان می دهد.} فاصله گذاری،، تناوب در صفحه تعریف شده توسطوبردارها

برای طول موج های کوتاه به اندازه کافی، حالت های پراش مرتبه بالاتری نیز وجود دارد. این موارد در شکل زیر نشان داده شده استموارد

شرط وجود این حالت ها این است که:

برای:…

برای، این به قانون اسنل کاهش می یابد، همانطور که در بالا ذکر شد. برای، اگر اختلاف طول مسیر برابر با تعداد صحیح طول موج در خلاء باشد، تداخل سازنده و یک پرتو نظم وجود دارد.با زاویه پراش می شود. توجه داشته باشید که لازم نیست تعداد مثبت و منفی برابر باشد-سفارشات

بعد، ما در امتداد صفحه تعریف شده توسطوبردارها یعنی، ما نقطه دید خود را حول محور z می‌چرخانیم تا به نظر برسد که بردار موج فرودی به طور معمول به سطح می‌آید. پراش در این صفحه به عنوان نمایه می شودتیرهای سفارشی توجه داشته باشید که فاصله دوره ای،، در این صفحه متفاوت خواهد بود و اینکه همیشه تعداد مثبت و منفی برابر خواهد بود-سفارشات

COMSOL به طور خودکار این موارد را محاسبه می کندحالت‌ها را در طول راه‌اندازی یک پورت دوره‌ای سفارش دهید و پورت‌های شنونده را تعریف کنید تا بتوان میزان انرژی پراکنده به هر حالت را ارزیابی کرد.

در آخر، باید در نظر بگیریم که موج ممکن است با پراش شدن، چرخشی از قطبش خود را تجربه کند. بنابراین، هر مرتبه پراش شامل دو قطبش متعامد، بردار درون صفحه و بردار خارج از صفحه است . نگاه کردن به هواپیمای تعریف شده توسطو بردار موج پراش، میدان پراش می تواند دو جزء داشته باشد. جزء بردار خارج از صفحه، پرتو پراش شده ای است که به خارج از صفحه پراش قطبی شده است (صفحه ای که توسطو، در حالی که مولفه برداری درون صفحه دارای قطبش متعامد است. بنابراین، اگر مولفه بردار درون صفحه برای یک مرتبه پراش خاص غیر صفر باشد، به این معنی است که موج ورودی هنگام پراش، چرخش قطبش را تجربه می کند. تعاریف مشابهی برایحالت های سفارش

ساختار تناوبی را روی یک بستر دی الکتریک در نظر بگیرید. همانطور که پرتو حادثه وارد می شودو سفارشات پراکنده بالاتری وجود دارد، تجسم همه سفارشات پراکنده می تواند کاملاً درگیر شود. در شکل زیر جهت موج هواپیمای ورودی به صورت بردار زرد نشان داده شده است. اینترتیبات پراش به صورت فلش های آبی برای پراش در جهت z مثبت و فلش های فیروزه ای برای پراش به جهت z منفی نشان داده شده اند. پراش بهحالت های سفارش به صورت قرمز و سرخابی برای جهت های مثبت و منفی نشان داده می شوند. می تواند به هر یک از این جهت ها پراش وجود داشته باشد و موج پراش می تواند در داخل یا خارج از صفحه پراش قطبی شود. خود صفحه پراش به صورت یک قوس دایره ای تجسم می شود. توجه داشته باشید که صفحه پراش برایحالت ها در جهت z مثبت و منفی متفاوت است.

همه پورت ها به طور خودکار هنگام تعریف ساختار تناوبی در سه بعدی تنظیم می شوند. آنها این ترتیبات پراش مختلف را می گیرند و می توانند فیلدها و فاز نسبی را در هر ترتیب محاسبه کنند. درک معنی و تفسیر این پورت ها هنگام مدل سازی ساختارهای دوره ای مفید است.