قوت فرم ضعیف

اگر از نرم‌افزار شبیه‌سازی اجزای محدود مانند COMSOL Multiphysics استفاده می‌کنید، در نقطه‌ای با عبارت «شکل ضعیف» مواجه می‌شوید. وقتی این کار را انجام می دهید، ممکن است تعجب کنید که این عبارت به چه معناست. فرم ضعیف در واقع یک مفهوم بسیار قدرتمند است. در اینجا، با ایده های اساسی و مزایای مربوطه آشنا خواهید شد.

منشا معادلات ضعیف

شبیه‌سازی‌های چندفیزیکی بر اساس معادلات دیفرانسیل جزئی (PDE) هستند. این PDE ها معمولاً از قوانین بقای اصول فیزیکی مانند بقای جرم، انرژی و تکانه مشتق می شوند. این قوانین حفاظتی شناخته شده را می توان، بدون هیچ فرضی دیگری، به عنوان معادلات انتگرال در حوزه های دلخواه فرموله کرد.

اصطلاحات انتگرال حجمی آنچه را که در داخل دامنه ها ذخیره شده یا توسط منابع اضافه شده است، توصیف می کنند، در حالی که انتگرال های سطحی تعامل با دامنه های همسایه یا یک محیط خارجی را توصیف می کنند. به شرطی که همه توابع درگیر به اندازه کافی صاف باشند، قضیه واگرایی توسط گاوس می تواند انتگرال های سطحی را به انتگرال حجمی تبدیل کند. از آنجایی که دامنه مورد استفاده در اشتقاق دلخواه است، معادله حاصل باید در هر نقطه به صورت جداگانه معتبر باشد و معادله انتگرال را به یک PDE تبدیل کند.

با این حال، یک نقص جزئی در این روش استاندارد اشتقاق PDE وجود دارد: توابع درگیر (خصوصاً خواص مواد) همیشه به اندازه کافی صاف نیستند که کاربرد قانون گاوس را در همه جا توجیه کنند. بنابراین، PDE به دست آمده بسیار سخت‌گیرانه است به این معنا که همه راه‌حل‌های معقول فیزیکی را اجازه نمی‌دهد (این جایی است که شکل ضعیف ظاهر می‌شود). معادله ضعیف تا حدی روش اشتقاق را معکوس می‌کند تا یک فرمول انتگرال را برگرداند که سخت‌تر از PDE است. این بدان معنی است که معادلات ضعیف در واقع به فیزیک اساسی نزدیکتر از معادلات کلاسیک هستند.

چگونه یک معادله ضعیف را از یک معادله کلاسیک استخراج کنیم

ما با PDE شروع می کنیم و روش معمول برای استخراج همتای ضعیف آن را تشریح می کنیم. برای این منظور، اجازه دهید معادله انتشار را در نظر بگیریم :

بیشتر معادلات در نرم افزار COMSOL شامل عبارات مشابه هستند. برای کاربردهای انتقال حرارت، ضریب انتشار ،و عبارت منبع،، به ترتیب به هدایت حرارتی و منبع گرما مراجعه کنید. اگر تابع مجهول،، جوابی از PDE اصلی است، همچنین حل معادله انتگرال زیر است:

این نتیجه از ضرب PDE با یک تابع دلخواه است،، به دنبال اعمال انتگرال overدر دو طرف معادله

برعکس، یک تابع،، که معادله انتگرال را برای تعداد کافی توابع مختلف حل می کند،، یک کاندید احتمالی برای حل PDE اصلی است. به همین دلیل است که توابع،، توابع تست نامیده می شوند و در روش اجزای محدود نقش کلیدی دارند . ما در مورد انتخاب توابع تست در بخش زیر بحث خواهیم کرد.

تبدیل PDE به این معادله انتگرال از قبل منعکس کننده ماهیت شکل ضعیف است، اما معمولاً با مرحله دوم دنبال می شود. این مرحله قضیه واگرایی را با فرمول گاوس یا گرین (همچنین به عنوان ادغام با قطعات شناخته می شود) بر روی مشتقات مرتبه دوم اعمال می کند. در مثال ما، می توانیم سمت چپ معادله انتگرال قبلی را به صورت زیر بازنویسی کنیم:

بامرز دامنه بودن،، وبردار معمولی به دور از دامنه. با استفاده از این فرمول، شکل ضعیف نهایی معادله انتشار به شرح زیر است:

انتگرال مرزی مسئول تعامل با محیط اطراف است. در اینجا، شرایط مرزی وارد عمل می شود که این تعامل را توصیف می کند و در نتیجه کل مشکل را منحصر به فرد می کند. وقتی انتقال حرارت را شبیه سازی می کنیم، اصطلاحبرای مثال، شار گرما را بر روی مرز توصیف می کند. اگر شار حرارتی وجود نداشته باشد، مرز عایق حرارتی است.

انتخاب توابع تست

یک تابع،اگر معادله ضعیف را برای بسیاری از توابع آزمایشی مختلف حل کند، راه حل ضعیف PDE نامیده می شود.. به طور دقیق تر، ما نه تنها یک تابع تست را در نظر می گیریم، بلکهیک کلاس کامل از توابع آزمایشی را نشان می دهد که هر کدام با یک معادله مطابقت دارد. البته، ما هرگز نمی‌توانیم همه توابع آزمایشی ممکن را در نظر بگیریم، زیرا این امر منجر به تعداد نامحدودی از معادلات می‌شود. در عمل، ما به تعداد محدودی از توابع آزمون خوب انتخاب شده نیاز داریم. اینجاست که عناصر محدود وارد عمل می شوند.

همه شما می دانید که حوزه محاسباتی قبل از اجرای مطالعه شما باید مشبک شود. مش بندی هندسه را به مجموعه ای از حجم های کوچکتر – عناصر تقسیم می کند. سپس توابع آزمایشی را می‌توان با استفاده از چندجمله‌ای در هر عنصر تعریف کرد، به طوری که آنها فقط در گروه کوچکی از عناصر همسایه غیر صفر و در خارج از گروه صفر باشند. متداول ترین نوع چندجمله ای ها که به این شکل ساخته می شوند، به عنوان توابع شکل لاگرانژ شناخته می شوند و توسط نرم افزار COMSOL برای بسیاری از رابط های فیزیک استفاده می شوند.

گسسته سازی (سمت چپ) را انتخاب کنید . در تنظیمات Discretization ، عناصر لاگرانژ به طور پیش فرض استفاده می شوند (راست).

توابع تست احتمالی دیگری نیز وجود دارد، اما ما در اینجا به آن جزئیات نمی پردازیم. نکته مهمی که باید به آن توجه داشت این است که از آنجایی که توابع آزمایشی مرتبط با عناصر مش مختلف مستقل هستند، مش به طور موثر تعداد توابع آزمایشی و همچنین وضوح فضایی آنها را تعیین می کند.

همه اینها چه ربطی به راه حل شما دارد؟ راه حل حاصل از محاسبات شما در واقع برهم نهی همه توابع تست درگیر است. پیامی که در اینجا وجود دارد این است که اگرچه راه حل واقعی شما ممکن است یک تابع نسبتاً پیچیده باشد، اما می توان آن را به عنوان ترکیبی از توابع بسیار ساده تقریب زد. هرچه مش ریزتر باشد، عملکردهای شکل بیشتری درگیر می شود و راه حل بهتری خواهد بود (به ویژه در مناطقی با شیب تند، زیرا به عناصر مش بیشتری نیاز است). اگر به پالایش مش ادامه دهید تا زمانی که محلول شما دیگر تغییر نکند، مطالعه همگرایی مش را با موفقیت انجام داده اید و احتمالاً راه حل شما تقریب خوبی از راه حل اصلی PDE است.

این روش استفاده از توابع آزمون برای تقریب راه حل، رویکرد ریتز-گالرکین نامیده می شود و به نوعی بهترین رویکرد اجزای محدود است زیرا خطای حل محاسبه شده و دقیق را به حداقل می رساند. موارد زیادی برای پوشش دادن در مورد گسسته سازی وجود دارد، مانند مش بندی و همگرایی. در حال حاضر نمودار زیر را اضافه می کنیم که می تواند نشان دهنده یک غشای خمشی تحت یک بار معین باشد. تقریب های خطی تکه ای محلول را با وضوح مش افزایش نشان می دهد.

مثالی از چگونگی بهبود یک راه حل برای تعداد فزاینده ای از توابع شکل خطی.

در حد ریاضی چه اتفاقی می افتد؟

از نظر تئوری، وضوح مش را می توان بیشتر افزایش داد، به این معنی که مجموعه توابع آزمایش بزرگتر می شود. می توانید تصور کنید که حد ریاضی این روش منجر به مجموعه ای از توابع آزمایشی می شود که به نوعی کامل و پیوسته است. این از نقطه نظر عملی مرتبط نیست، اما این استدلال به یک نظریه ریاضی منطقی از حل‌پذیری و منحصربه‌فرد بودن راه‌حل‌ها منجر می‌شود. اگرچه شما، به عنوان یک کاربر COMSOL Multiphysics، نیازی به پرداختن به این مسائل ندارید، اما دانستن اینکه محاسبات شما مبنای نظری درستی دارد، آرامش بخش خواهد بود.

معادله ضعیف در نحو COMSOL

در این مرحله، ممکن است تعجب کنید که چگونه شکل ضعیف در نحو COMSOL بیان می شود. برای این منظور، نرم افزار عملگر تست را ارائه می دهد که برای بیان توابع تست استفاده می شود.. اپراتور تست بر روی متغیر راه حل عمل می کند،و مشتقات آن، به عنوان مثال،. یک دلیل منطقی برای مرتبط کردن توابع تست با راه حل وجود دارد. اگر راه حل با استفاده از یک پایه چند جمله ای بر روی مش نمایش داده شود، همانطور که در بالا توضیح داده شد، استفاده از همان مبنای برای توابع آزمایشی تضمین می کند که سیستم گسسته دارای همان تعداد مجهولات و معادلات است.

برای اینکه عبارت اول معادله ضعیف مثال خود را به نحو COMSOL ترجمه کنیم، ابتدا باید گرادیان ها را با استفاده از مشتقات جزئی با توجه به x ، y ، و z بازنویسی کنیم . در اینجا، نماد اولین مشتق جزئی است.

به طور مشابه، مشتقات جزئی تابع آزمون به صورت بیان می شوند.

در مجموع، اصطلاحات انتگرال دامنه فرم ضعیف در نحو COMSOL به صورت زیر خوانده می شود:

شرایط مرزی نیاز به برخورد خاصی دارد که خارج از محدوده این پست وبلاگ است. هیچ علامت مساوی نیازی نیست، زیرا شکل ضعیف PDE به طور خودکار روی صفر تنظیم می شود. توجه به این نکته ضروری است که این ترجمه معمولاً به صورت خودکار انجام می شود زیرا COMSOL Multiphysics برای ادامه محاسبات به فرم ضعیف نیاز دارد. با این حال، امکان وارد کردن فرم ضعیف به عنوان کاربر نیز وجود دارد. رابط پیش‌فرض Weak Form PDE معادله بالا را باو تغییر علامت، همانطور که در تصاویر زیر نشان داده شده است:

رابط های فرم ضعیف موجود در COMSOL Multiphysics (سمت چپ). مثالی از نحوه وارد کردن فرم ضعیف در نحو COMSOL (راست).

مزایای رویکرد فرم ضعیف

همه اینها در عمل به چه معناست؟ دنیای واقعی همیشه خوب و هموار نیست. این می تواند پیچ ​​خوردگی در داده های مواد، سطوح ناهموار، منابع نقطه ای، یا تغییرات سریع در محلول یا گرادیان آن را نشان دهد. در حالی که PDE های کلاسیک به محدودیت های خود برای اثرات فیزیکی غیر صاف می رسند، معادلات ضعیف اغلب بسیار مناسب هستند. آنها سخت‌گیرانه‌تر نیستند، زیرا همه عبارت‌های درگیر انتگرال‌هایی روی عناصر مش هستند و نیازی به تعریف خوب در هر نقطه از دامنه ندارند. این مزیت کلیدی رویکرد اجزای محدود است که به نرم افزار COMSOL و شما به عنوان کاربر امکان می دهد تا راه حل هایی را برای برنامه های کاربردی دنیای واقعی خود دریافت کنید.

به طور خلاصه، معادلات ضعیف:

• مجموعه ای از معادلات انتگرال هستند. مش تعداد معادلات حل شده در مطالعه شما را دیکته می کند.
• اجازه مدل‌سازی در دنیای واقعی را بدهید زیرا آنها مستقیماً از قانون حفاظت فیزیکی زیربنایی بیرون می‌آیند.
• با یک نظریه ریاضی صحیح حلال پذیری و منحصر به فرد بودن راه حل ها همراه باشید.