سختی محاسباتی سازه های الاستیک خطی: قسمت 2

قبلاً نحوه محاسبه سختی سازه های الاستیک خطی در 0D و 1D را مشاهده کردید . امروز، آن را گسترش می دهیم و به شما نشان می دهیم که چگونه آن را به صورت دو بعدی و سه بعدی مدل سازی کنید. ما همچنین یک روش جایگزین برای محاسبه سختی به شما نشان خواهیم داد.

از جمله اثر پواسون و مدول برشی

در قسمت 1 ، ما به شما نشان دادیم که چگونه اثر برشی معرفی شده توسط نظریه تیموشنکو بر سفتی تأثیر می گذارد. حال بیایید سعی کنیم یک اثر واقعی دیگر را در این مدل بگنجانیم به طوری که وقتی تیر در طول خود کشیده می شود و کشیده می شود، سطح مقطع آن کاهش می یابد. این به عنوان اثر پواسون شناخته می شود. نسبت بین کرنش های عرضی و محوری با خاصیت مادی معروف به نسبت پواسون نشان داده می شود .).

به طور کلی، اثر پواسون در توصیف فیزیکی یک تغییر شکل الاستیک خطی از طریق ماتریس سختی ماده، [C]، که تنش‌ها، {σ}، و کرنش‌ها، {ε} را به هم مرتبط می‌کند، گنجانده شده است. قانون هوک برای در نظر گرفتن اجزای محوری و برشی در جهات مختلف اصلاح شده است. در شکل تعمیم آن می توان اینگونه نوشت:

توجه داشته باشید که ماتریس سختی ماده، [C]، یک ویژگی ماده است، برخلاف سختی ساختاری (یا دستگاه) (k) که قبلاً معرفی کرده بودیم.

برای مواد الاستیک خطی همسانگرد، اجزای ماتریس سختی ماده، [C] را می توان تنها با استفاده از مدول یانگ و نسبت پواسون ماده ارزیابی کرد، زیرا مدول برشی تابعی از این دو پارامتر است. برای مواد ارتوتروپیک، ما باید مقادیر منحصر به فردی را برای مدول یانگ، نسبت پواسون و مدول برشی مشخص کنیم. برای یک ماده الاستیک خطی ناهمسانگرد عمومی، ماتریس سختی می‌تواند از 21 پارامتر ماده مستقل تشکیل شده باشد که هم از اثر پواسون و هم اثر برشی در جهات مختلف مراقبت می‌کند. اگرچه مدل مثال ما از یک ماده همسانگرد استفاده می‌کند، ایده‌های مورد بحث در این مدخل وبلاگ برای مواد orthotropic و anisotropic نیز صادق است.

حال، اجازه دهید دریابیم که چگونه می توان این اثرات را در مدل پرتو ما در ابعاد مختلف فضایی گنجاند. ما از نسبت پواسون 0.3 (~ مدول برشی 77 گیگا پاسکال) برای همه محاسبات خود استفاده خواهیم کرد.

مدل دو بعدی

هنگام مدل‌سازی پرتو به صورت دو بعدی، می‌توانیم بین یک کرنش صفحه یا یک فرض تنش صفحه انتخاب کنیم. در COMSOL Multiphysics، می‌توانید با انتخاب ابعاد فضای دوبعدی و انتخاب رابط مکانیک جامد، تنش صفحه دوبعدی و موارد کرنش صفحه را مدل‌سازی کنید . این رابط یک منوی کشویی برای جابجایی بین شرایط “تنش صفحه” و “کرنش صفحه” فراهم می کند.

گزینه کرنش هواپیما

گزینه “کرنش صفحه” زمانی مناسب است که فقط نیروهای محوری، برشی و خمشی درون صفحه وجود داشته باشد که بر روی سازه اعمال می شود و باعث ایجاد کرنش های درون صفحه می شود. اجزای کرنش خارج از صفحه صفر در نظر گرفته شده است. یک مثال معمولی شامل ساختاری است که به طور کامل در جهت خارج از صفحه محدود شده است. از این رو، این انتخاب مناسبی برای مدل سازی نمونه پرتو ما نیست. در فرمول “کرنش هواپیما”، نرم افزار COMSOL جابجایی های درون صفحه، u و v را حل می کند .

گزینه استرس هواپیما

گزینه “تنش صفحه” زمانی مناسب است که فقط نیروهای محوری، برشی و خمشی درون صفحه وجود داشته باشد که بر روی سازه اعمال می شود و تنش های درون صفحه را ایجاد می کند. مولفه های تنش خارج از صفحه صفر فرض می شود. در فرمول “تنش صفحه”، COMSOL Multiphysics جابجایی های درون صفحه، u و v را حل می کند.و همچنین کرنش خارج از صفحه، (wZ). برای یک ماده ناهمسانگرد، علاوه بر این، شیب جابجایی خارج از صفحه، uZ و vZ را حل می کند. به همین دلیل است که در COMSOL Multiphysics، می‌توانید از رابط مدل‌سازی دو بعدی «تنش صفحه» حتی برای مواد ناهمسانگرد استفاده کنید، تا زمانی که شرایط مرزی از فرض تنش صفحه پشتیبانی کند. چندین ترکیب از شرایط مرزی وجود دارد که این فرض را پشتیبانی می کند. یکی از این نمونه ها تیری است که در یک انتها تحت شرایط مرزی غلتکی و در انتهای دیگر آن آزاد است.

شرایط مرزی که شرایط تنش صفحه “ایده آل” را بر روی تیر تحت بار محوری نشان می دهد. مرز غلتک در سمت چپ به بدست آوردن مقدار ثابت تنش محوری σ _xx کمک می کند . یک نقطه هندسی در مرکز مرز غلتک برای محدود کردن جابجایی y (v) برای جلوگیری از ترجمه درون صفحه استفاده شده است.

همان تیر تنش صفحه “ایده آل” تحت بار عرضی. تنش خمشی σ _xx ، یک تغییر انتظاری صاف را نشان می‌دهد، اما تنش برشی، σ _xy ، در اطراف نقطه‌ای که v محدود است منفرد است.

شرایط مرزی نشان می دهد که تیر بدون ثابت تحت بار محوری با استفاده از مفروضات تنش صفحه مدل شده است. تنش محوری، σ _xx ، در گوشه‌ها در نتیجه محدود کردن جابجایی عرضی منفرد است. به دلیل همین محدودیت، به دلیل انقباض مهار شده در جهت عمودی، یک σ _{yy غیر صفر نیز دریافت می کنیم.}

همان تیر بدون ثابت تحت یک بار عرضی. تنش خمشی، σ _xx ، یک تغییر مورد انتظار صاف را نشان می دهد، اما حداکثر مقدار آن کمی بیشتر از آن چیزی است که از تیر “ایده آل” دریافت می کنیم. این به دلیل سختی اضافی ناشی از محدود کردن جابجایی عرضی است. در نتیجه همان محدودیت، مقادیر تکی σ _xy را در بالا و پایین صفحه میانی پرتو نیز دریافت می‌کنیم.

تصاویر بالا نشان می‌دهند که مثال پرتو بدون ثابت ما را فقط می‌توان با استفاده از فرض تنش صفحه دوبعدی «تقریباً» مدل‌سازی کرد. توجه داشته باشید که در مدل دوبعدی، محور y محلی می‌تواند با محور y یا محور z یک سیستم مختصات دکارتی که فضای سه‌بعدی را نشان می‌دهد، مطابقت داشته باشد، بسته به این که آیا صفحه -xy یا صفحه xz – را در آن نشان می‌دهیم. 2 بعدی

به طور مشابه، جابجایی عرضی، v، در مدل دوبعدی، بسته به اینکه آیا ما صفحه xy – یا xz – را نشان می‌دهیم، می‌تواند یکی از جابجایی‌های عرضی v یا w مدل سه‌بعدی را نشان دهد . ما می توانیم از این اطلاعات برای محاسبه سختی خمشی k _yy و k _zz با حل مدل دو بار استفاده کنیم: یک بار با ارتفاع b (0.2 متر) و سپس با ارتفاع t (0.1 متر).

بیایید به تأثیر این شرایط مرزی ایده آل و واقعی بر سختی محاسبه شده توسط مدل دو بعدی نگاه کنیم:

این مقادیر نشان می‌دهند که یک محدودیت ثابت واقعی، بر خلاف محدودیت غلتکی ایده‌آل، به دلیل اثرات سفت‌کننده موضعی در نزدیکی انتهای ثابت، به مقادیر کمی بالاتر سفتی منجر می‌شود. توجه داشته باشید که برای هر دو مورد، سختی خمشی کمتر از تیر اویلر-برنولی به دلیل انعطاف‌پذیری برشی اضافی (یعنی محاسبه تغییر شکل برشی) در مدل‌های دو بعدی است. از این رو، این نتایج به مدل های تیر تیموشنکو 1 بعدی نزدیک تر است. (نتایج شبیه سازی 1 بعدی را می توانید در پست قبلی وبلاگ ما بیابید .)

مدل سه بعدی

رویکرد مدل‌سازی دوبعدی تا زمانی مفید است که هیچ نیروی خارج از صفحه روی سازه وارد نشود و نیروهای درون صفحه در جهت خارج از صفحه تغییر نکنند. برای شرایط بارگذاری کلی تر و محدودیت ها در سازه، یک مدل سه بعدی می تواند اطلاعات دقیق تری ارائه دهد، اما از نظر محاسباتی مالیات بیشتری دارد. برای یک مدل سه بعدی واقعی، باید ابعاد فضای سه بعدی و رابط مکانیک جامد را انتخاب کنید .

یک نمایش سه بعدی از تیر بدون ثابت تحت بارهای محوری و عرضی. حل مدل برای این سه حالت بار به ما امکان می دهد سختی محوری و خمشی را ارزیابی کنیم.

خلاصه تنش های محوری برای سه حالت بار. به تمرکز تنش در انتهای ثابت توجه کنید که از ترکیبی از شرایط مرزی محدودیت ثابت و جفت شدن کرنش ها در جهات مختلف از طریق اثر پواسون ناشی می شود.

در مرحله بعد، اجازه دهید به سختی محوری و خمشی محاسبه شده توسط مدل سه بعدی نگاه کنیم. ما سختی را برای دو حالت محاسبه می کنیم: ابتدا با تنظیم نسبت پواسون روی 0.3، سپس با تنظیم آن بر روی 0. این به ما امکان می دهد نتایج سه بعدی را با نتایج تئوری پرتو 1 بعدی مقایسه کنیم.

توجه داشته باشید که برای نسبت پواسون 0، نتایج کاملاً با نتایج استفاده از تئوری تیر تیموشنکو 1 بعدی مطابقت دارند. برای نسبت پواسون 0.3، نظریه تیموشنکو سفتی خمشی کمتری را در نتیجه محاسبه انعطاف پذیری برشی پیش بینی می کند. با این حال، مدل سه‌بعدی سختی محوری و خمشی کمی بالاتر را در نتیجه شرایط مرزی محدودیت ثابت پیش‌بینی می‌کند، که یک اثر سفت‌کننده اضافی ایجاد می‌کند که انعطاف‌پذیری برشی را خنثی می‌کند، به‌ویژه زمانی که خم می‌شود در کمترین جهت انعطاف‌پذیر برشی.

اگر ما ساختار را به صورت سه بعدی مدلسازی نکرده بودیم، متأسفانه می‌توانست از تأثیر واقع‌بینانه‌ای که در اینجا دیده‌ایم نادیده گرفته شود.

سفتی یا سازگاری؟

اکنون روشی را که تاکنون برای محاسبه سختی استفاده کرده‌ایم، دوباره بررسی می‌کنیم.

یک سر تیر را ثابت کردیم و به طرف دیگر نیرو وارد کردیم. ما یک جزء از بردار نیرو را در یک زمان با غیرصفر کردن آن تغییر دادیم (و سایر مؤلفه‌های نیرو را صفر گذاشتیم) و میانگین جابجایی نوک تیر حاصل را ارزیابی کردیم. تحت این شرایط، بردار نیرو ( F ) و بردار جابجایی ( u ) باید با استفاده از یک ماتریس انطباق، [s] کاملاً همبسته شوند، به طوری که.

همین معادله را می توان در یک فرمول ماتریسی نوشت:

در اینجا، مولفه انطباق، s _ij ، انطباق خطی شده را نشان می دهد که مربوط به مقدار جابجایی افزایشی است که در امتداد جهت i به دست می آورید ⁽ جایی که می توانم x ، y ، z باشم ) زمانی که نیروی افزایشی در امتداد جهت j اعمال می کنیم ⁽ جایی که j می تواند x ، y ، z باشد ). ما این رویکرد را روش کنترل شده با نیرو می نامیم .

بر اساس تعریف قبلی ما از سختی، اکنون می توانیم یک ماتریس سختی کلی تعریف کنیم به طوری که

ما می توانیم آن را در یک فرمول ماتریسی نیز نشان دهیم:

در ماتریس سختی، عبارات مورب مربوط به سختی محوری و خمشی است و شرایط خارج از مورب هر گونه سختی ناشی از جفت کششی-خمشی را نشان می‌دهد. در غیاب چنین اتصال خمشی (مانند مورد ما)، ماتریس انطباق مورب دریافت می کنیم. بنابراین، می‌توان گفت k _xx = 1/s _xx ، k _yy = 1/s _yy ، و k _zz = 1/s _zz . این چیزی است که ما تا کنون استفاده کرده ایم.

توجه داشته باشید که ورودی به فرمول ماتریس دوم برابر با مولفه های مختلف جابجایی است، در حالی که خروجی مورد علاقه برابر با مولفه های نیروی واکنشی است که در مرز با جابجایی تعیین شده “احساس” می شود. بنابراین، برای یافتن مولفه‌های مختلف ماتریس سختی، باید یک جزء از بردار جابجایی را در هر زمان تغییر دهیم، آن را غیرصفر کنیم (و سایر اجزای جابجایی را روی صفر قرار دهیم)، و نیروی واکنش حاصل را ارزیابی کنیم.

به اصطلاح “انتهای آزاد” که در آن بارهای محوری و عرضی را اعمال می کردیم، دیگر آزاد نیست. بر این اساس، اکنون می توانیم بگوییم که مولفه سختی، k _ij ، نشان دهنده سختی خطی شده مربوط به مقدار نیروی واکنش فزاینده ای است که در امتداد جهت i دریافت می کنید ⁽ جایی که من می توانم x ، y ، z باشد ) زمانی که یک را اعمال می کنیم. جابجایی افزایشی در امتداد ^جهت j (جایی که j می تواند x ، y ، z باشد ). ما این رویکرد را روش کنترل شده با جابجایی می نامیم .

آیا سفتی دیگری وجود دارد؟

تا اینجا بحث خود را به سختی محوری و خمشی که با استفاده از نیروها و جابجایی ها به دست می آمد محدود کردیم. با این حال، در واقعیت، در هر نقطه از فضا، یک سازه می‌تواند شش درجه آزادی داشته باشد که سه درجه آن مربوط به ترجمه است و سه درجه دیگر مربوط به چرخش است. به همین ترتیب، به جای اعمال نیرو بر روی مرز در یکی از جهات موازی با x ، y یا z ، می توان گشتاورهایی را نیز در مورد این سه محور اعمال کرد.

برای تیرهای کنسولی مانند ما، یک لحظه حول محور x باعث پیچش می‌شود، در حالی که ممان‌های اطراف محورهای y و z خمش ایجاد می‌کنند. تمام این اطلاعات را می توان با استفاده از فرمول ماتریس زیر نشان داد:

این نشان می‌دهد که ما می‌توانیم یک ماتریس سختی کلی شش در شش داشته باشیم که می‌تواند چندین نوع شرایط سختی مانند محوری، برشی، خمشی و پیچشی و همچنین شرایط جفت شده بین این حالت‌ها را در خود جای دهد.

سختی محاسباتی در COMSOL Multiphysics: روش جایگزین

با در دست داشتن اطلاعات جدید، بیایید مدل پرتو خود را دوباره بررسی کنیم:

مدل پرتو تعریف شده به صورت سه بعدی نشان می دهد که چگونه می توانیم جابجایی را در نوک پرتو تجویز کنیم.

برای پیاده سازی روش کنترل جابجایی در COMSOL Multiphysics، باید موارد زیر را انجام دهیم:

• راهی برای تجویز جابجایی ها در مرز تیر در x = L پیدا کنید
• نیروهای واکنش را بر روی مرز پرتو در x = L بیابید

تجویز جابجایی

اگر از مدل های تئوری پرتو (برای تجزیه و تحلیل 1 بعدی) استفاده کنیم، آنها به ما اجازه می دهند که به طور صریح با هر شش درجه آزادی (تغییر مکان ها و چرخش ها) کار کنیم. بنابراین، می‌توانیم بار نقطه‌ای را با یک جابجایی/چرخش تجویز شده جایگزین کنیم، جایی که می‌توانیم جابه‌جایی را روی مقداری غیرصفر (مثلاً 1 میلی‌متر) تنظیم کنیم و در عین حال هیچ محدودیتی بر چرخش در نوک پرتو اعمال نکنیم.

ویژگی جابجایی / چرخش تجویز شده در نوک یک پرتو 1 بعدی اعمال می شود. چرخش آزاد مجاز است.

همانطور که در پست وبلاگ قبلی نشان داده شده است، ما می توانیم از if()عملگر و نام ها (مانند root.group.lg1) مرتبط با گروه های بار استفاده کنیم، به طوری که تنها یک جزء از بردار جابجایی را می توان در زمانی که همان مدل را حل می کنید، غیرصفر کرد. چندین بار.

یک عکس فوری که نشان می‌دهد چگونه می‌توانید سه لود مورد را تنظیم کنید و مدل را تنها با یک گروه بار فعال در یک زمان حل کنید.

هنگام استفاده از مدل مکانیک جامدات (در دو بعدی و سه بعدی)، ما فقط می توانیم سه درجه آزادی انتقالی (تغییر مکان) را مشخص یا محاسبه کنیم که به نوبه خود برای محاسبه چرخش ها استفاده می شود. این همچنین به این معنی است که هنگامی که ما یک محاسبات سختی کنترل شده با جابجایی را تنظیم می کنیم، نظریه پرتو به راحتی به ما اجازه می دهد یا چرخش را محدود کنیم یا چرخش آزاد را در یک نقطه مجاز کنیم.

از سوی دیگر، در مدل مکانیک جامدات، نمی توان آزادانه چرخش را در همه جای آن سطح با جدا کردن چرخش از جابجایی تجویز کرد یا محدود کرد. به این دلیل است که ما با تغییرات مکانی در جابجایی در یک مرز سر و کار داریم. این بدان معنی است که اگر مجموعه ای از جابجایی های عرضی را به سادگی اختصاص دهیم (مثلاً u = 0، v = 1 میلی متر، و w = 0)، چرخش را کاملاً محدود می کند (یعنی Φ _x = Φ _y = Φ _z = 0)، در نتیجه سفتی خمشی موثر تیر افزایش می یابد. اینجاست که شرایط مرزی اتصال سخت نرم افزار COMSOL وارد می شود و به ما کمک می کند بر این مشکل در مدل های جامد دو بعدی و سه بعدی غلبه کنیم.

ویژگی اتصال صلب در مرز یک پرتو سه بعدی اعمال می شود. چرخش آزاد در مرکز مرز مجاز است.

در مدل ما، می‌توانیم از عبارات مشابهی که قبلا نشان داده شده است استفاده کنیم تا جابجایی‌ها را در شرایط مرزی اتصال صلب برای تغییر هر یک از مولفه‌های جابجایی، یکی در یک زمان، با استفاده از گروه‌های بار و موارد بار تجویز کنیم. اتصال صلب همان نوع سفتی محلی و اغتشاشات تنشی را به عنوان محدودیت ثابت در انتهای دیگر تیر معرفی می کند.

محاسبه نیروی واکنش و سختی

نیروی واکنش را می‌توان با راه‌اندازی یک عملگر جفت‌کننده یکپارچه محاسبه کرد که می‌توان از آن برای جمع‌بندی نیروی واکنش در تمام گره‌های یک مرز استفاده کرد. COMSOL Multiphysics متغيرهاي از پيش تعريف شده اي از قبيل solid.RFx، را فراهم مي كند solid.RFyكه solid.RFzبه شما امكان دسترسي به نيروي واكنش را مي دهد. سپس سختی را می توان به عنوان نسبت کل نیروی واکنش و مقدار جابجایی تعیین شده در نوک پرتو محاسبه کرد. روش دیگر، استفاده از میانگین جابجایی در نوک تیر می تواند مفید باشد اگر تیر دارای یک جفت خمشی کششی باشد. در آن صورت میانگین جابجایی در جهت عمود بر اعمال بار صفر نخواهد بود.

تصویری از اپراتور اتصال یکپارچه و متغیرهای تعریف شده برای محاسبه سختی.

خلاصه ای از سختی محوری و خمشی

در نهایت، در اینجا خلاصه ای از تمام مقادیر سختی محوری و عرضی است که ما در ابعاد مختلف فضایی با نادیده گرفتن یا شامل اثرات پواسون و برشی محاسبه کرده ایم. مقادیر سختی به‌دست‌آمده از هر دو روش کنترل‌شده با نیرو و کنترل‌شده با جابجایی با یکدیگر مطابقت دارند، بنابراین یک بررسی سازگاری ارائه می‌دهند:

نتیجه

اکنون مفهوم سختی محوری و خمشی سازه ها را با جزئیات بیشتری بررسی کرده ایم. ما با یک تعریف معمولی از سختی، که برای مدل‌های 0D مناسب است، شروع کردیم و آن را گسترش دادیم تا با فرضیات و تئوری‌های موجود برای ساختارهای مدل در 1D، 2D و 3D که شامل بارگذاری چند محوری هستند، مطابقت داشته باشد. ما دیدیم که سختی یک سازه را به ندرت می توان با یک عدد تک ارزشی بدست آورد.

سختی سازه می تواند تحت تأثیر چندین عامل دیگر قرار گیرد که در اینجا بررسی نکرده ایم. برخی از این موارد عبارتند از:

• غیرخطی بودن هندسی:
  • وقتی سختی تابعی از بزرگی نیرو یا جابجایی می شود چه اتفاقی می افتد؟
• غیر خطی بودن مواد:
  • چگونه سفتی مواد را تعریف کنیم، مانند فلزات بالاتر از قدرت تسلیم یا لاستیک که از قانون هوک پیروی نمی کنند؟
• چند فیزیک:
  • هنگامی که یک بار غیر مکانیکی، مانند حرارتی یا سیال، جابجایی ساختاری ایجاد می کند، سختی را چگونه تعریف کنیم؟

مراحل بعدی

• پست قبلی وبلاگ را در این مجموعه بخوانید: سختی محاسباتی سازه های الاستیک خطی: قسمت 1
• اگر در مورد سختی محاسباتی با استفاده از COMSOL Multiphysics سؤالی دارید، لطفاً با ما تماس بگیرید