در حل کننده ها: چندشبکه چرخه V

همانطور که قبلاً در وبلاگ مورد بحث قرار گرفت، روش های تکرار شونده به طور موثر اجزای خطای نوسانی را حذف می کنند در حالی که اجزای صاف را تقریباً دست نخورده باقی می گذارند ( ویژگی صاف کردن ). روش‌های چندشبکه‌ای، به‌ویژه از ویژگی هموارسازی، تکرار تودرتو، و تصحیح باقیمانده برای بهینه‌سازی همگرایی استفاده می‌کنند. قبل از کنار هم قرار دادن تمام قطعات این پازل ضرب المثلی، باید تصحیح باقیمانده را معرفی کنیم و کمی عمیق تر در تکرار تودرتو فرو برویم. بیایید با دومی از این عناصر شروع کنیم.

تکرار تو در تو

در پست قبلی وبلاگ خود ، توضیح دادیم که امواج نوسانی ازبه صورت امواج صاف تر روی شبکه درشت تر ظاهر می شود(برای نشان دادن شبکه با فاصله استفاده شده است). در همان خط، ما می توانیم نشان دهیم که امواج صاف دربیشتر نوسانی به نظر می رسد. پس از آن ایده خوبی است که وقتی همگرایی شروع به توقف کرد، به یک شبکه درشت تر حرکت کنید. امواج صاف غالب دربیشتر نوسانی ظاهر خواهد شد، که در آن خاصیت هموارسازی روش های تکرار شونده آنها را کارآمدتر می کند.

به این ترتیب، شبکه های درشت را می توان برای ایجاد حدس های اولیه بهبود یافته مانند رویه تکرار تودرتو زیر استفاده کرد:

• تکرار کنیددر درشت ترین شبکه
• …
• تکرار کنیدبربرای به دست آوردن حدس اولیه برای
• تکرار کنیدبربرای به دست آوردن حدس اولیه برای
• تکرار کنیدبربرای به دست آوردن یک تقریب نهایی برای حل

به نظر می رسد تکرار تودرتو رویه خوبی باشد، اما هنگامی که در شبکه دقیق قرار می گیریم، اگر هنوز مولفه های خطای صاف داشته باشیم و همگرایی شروع به متوقف شدن کند، چه اتفاقی می افتد؟ معادله باقیمانده در این نقطه به دست می‌آید، با روش‌های چندشبکه‌ای که به ما نشان می‌دهد چگونه از آن به طور مؤثر با تکرار تودرتو استفاده کنیم.

توجه: اطلاعات بین شبکه‌ها از طریق دو عملکرد انتقال می‌یابد: اپراتورهای طولانی‌سازی (از یک شبکه درشت به یک شبکه ریز) و محدودیت (از یک شبکه خوب به یک شبکه درشت). اگرچه آنها بخش مهمی از روش‌های چندشبکه‌ای را نشان می‌دهند و موضوعی جذاب هستند، به‌خاطر اختصار به آنها در پست وبلاگ امروز نمی‌پردازیم.

معادله باقیمانده و تصحیح شبکه درشت

راه حل ناشناخته است در حالی که ما جواب تقریبی و هنجار خطای جبری را محاسبه می کنیم معیاری است برای اینکه روش تکراری ما چقدر به جواب همگرا شده است. (معادله را می توان به صورت هم نوشت.) از آنجایی که خطای جبری نیز ناشناخته است، باید به اندازه گیری قابل محاسبه تکیه کنیم: باقیمانده .

پس از مقداری جبر، رابطه مهم بین را مشخص می کنیمو: معادله باقیمانده . معادله باقیمانده مهم است، زیرا ما را به ایده تصحیح باقیمانده هدایت می کند. یعنی جواب تقریبی را محاسبه می کنیمو، مستقیماً به لطف معادله باقیمانده حل کنید و سپس یک جواب تقریبی جدید را محاسبه کنیدبا استفاده از تعریف خطای جبری:.

علاوه بر این، با معادله باقیمانده، می‌توانیم مستقیماً روی خطا تکرار کنیم و از تصحیح باقیمانده برای بهبود جواب تقریبی استفاده کنیم. در حین تکرار، اگر اجزای خطای هموار هنوز وجود داشته باشند، در نهایت همگرایی متوقف می شود. سپس می‌توانیم معادله باقیمانده را روی شبکه درشت‌تر تکرار کنیم، برگشت به، و راه حل تقریبی که ابتدا در اینجا به دست آمده را تصحیح کنید. این روش که تصحیح شبکه درشت نامیده می شود ، شامل مراحل زیر است:

• تکرار کنیدبار دربرای به دست آوردن راه حل تقریبی تا رسیدن به همگرایی مطلوب
• باقیمانده را محاسبه کنید
• معادله باقیمانده را حل کنیدبرای بدست آوردن خطای جبری(اپراتور محدودیت مورد نیاز توسطحذف شده است)
• درستبا:(اپراتور طولانی شدن مورد نیاز توسطحذف شده است)
• تکرار کنیدبار دربرای به دست آوردن راه حل تقریبیتا رسیدن به همگرایی مطلوب

اکنون می دانیم که وقتی همگرایی در بهترین شبکه متوقف می شود، چه باید بکنیم!

تصحیح شبکه درشتی که در بالا ذکر شد را می توان با این نمودار نشان داد:

روش تصحیح شبکه درشت شاملو.

اولین روش چندشبکه ای ما: چرخه V

یک سوال در مورد تصحیح شبکه درشت باقی می ماند: اگر به همگرایی خطای مورد نظر در شبکه درشت نرسیدیم چه؟

بیایید یک لحظه به این موضوع فکر کنیم. حل معادله باقیمانده در شبکه درشت با حل یک معادله جدید تفاوتی ندارد. ما می توانیم تصحیح شبکه درشت را برای معادله باقیمانده اعمال کنیم، به این معنی است که ما نیاز داریمبرای مرحله اصلاح اگر راه حل مستقیم بر روی، دیگر نیازی به اعمال تصحیح شبکه درشت نداریم و روش حل ما مانند یک V خواهد بود، همانطور که در شکل زیر نشان داده شده است.

روش حل چندشبکه ای سیکل V.

این روش حل، چندشبکه چرخه V نامیده می شود . واضح است که روش های چندشبکه ای ماهیت بازگشتی دارند و یک چرخه V را می توان به بیش از دو سطح گسترش داد. محاسبه مراحل شبکه درشت سریعتر از مراحل خوب است و با پایین آمدن به آنها خطا سریعتر همگرا می شود.

از آنجایی که صرف تلاش بیشتر بر روی شبکه‌های درشت نتیجه می‌دهد، روشی به نام چرخه W می‌تواند معرفی شود که در آن محاسبات در مراحل درشت مدت بیشتری باقی می‌ماند. اگر حدس اولیه برای عمیق‌ترین چرخه V از چرخه‌های V کم‌عمق‌تر به‌دست آید، آن‌گاه چیزی را خواهیم داشت که به آن چرخه کامل چندشبکه (FMG) می‌گویند. در حالی که FMG رویکرد گران‌تری است، اما امکان همگرایی سریع‌تری را نسبت به چرخه V و چرخه W فراهم می‌کند.

نمودار مقایسه چرخه V، چرخه W و FMG.

مروری بر روش های مختلف چندشبکه ای

در اینجا، چرخه V، چرخه W و FMG را در ساده‌ترین شکل‌هایشان ارائه کرده‌ایم. به منظور حل مسائل پیچیده چند فیزیک و رسیدن به عملکرد بهینه، روش های چندشبکه ای به تنهایی مورد استفاده قرار نمی گیرند. آنها همچنین می توانند برای بهبود همگرایی سایر روش های تکرار شونده استفاده شوند. این همان چیزی است که در زیر کاپوت در COMSOL Multiphysics اتفاق می افتد.

تکنیک‌هایی که روش‌های چندشبکه‌ای را با هم ترکیب می‌کنند مدتی است مورد استفاده قرار گرفته‌اند و به دلیل محدودیت‌هایشان شناخته شده‌اند. زیبایی روش‌های چندشبکه‌ای ناشی از سادگی آن‌ها و این واقعیت است که همه این ایده‌ها را به گونه‌ای ادغام می‌کنند که بر محدودیت‌ها غلبه می‌کند و الگوریتمی تولید می‌کند که از مجموع عناصر آن قدرتمندتر است.

مراحل بعدی

• پست قبلی وبلاگ در این مجموعه را بررسی کنید: در حل‌کننده‌ها: روش‌های چندشبکه
• خواندن یک آموزش چندشبکه توسط ویلیام ال بریگز

یادداشت سردبیر: این پست وبلاگ در تاریخ 18/4/16 به روز شد.