در حل کننده ها: روش های چندشبکه ای

روش‌های حل یک ابزار ارزشمند برای اطمینان از کارایی یک طراحی و همچنین کاهش تعداد کلی نمونه‌های اولیه مورد نیاز هستند. در پست وبلاگ امروز، شما را با نوع خاصی از روش‌ها به نام روش‌های چندشبکه‌ای آشنا می‌کنیم و ایده‌های پشت استفاده از آن‌ها را در COMSOL Multiphysics بررسی می‌کنیم.

مروری بر روش های حل

معادلات دیفرانسیل که یک کاربرد واقعی را توصیف می کنند، تنها زمانی یک راه حل تحلیلی را می پذیرند که چندین فرض ساده کننده ساخته شوند. در حالی که بینش هایی که از این رویکرد به دست می آوریم ارزشمند هستند، اما برای تایید کارآمد بودن طراحی ما یا کاهش تعداد نمونه های اولیه مورد نیاز برای به دست آوردن درک کامل کافی نیستند .

روش‌های حل عددی برای مدل‌های مبتنی بر معادلات دیفرانسیل جزئی (PDEs) مرتبط با مسئله مهندسی شما بر چنین محدودیت‌هایی غلبه می‌کنند و به شما اجازه می‌دهند که مسئله را به عنوان یک سیستم معادلات جبری نشان دهید. مسائل جبری خطی به صورت ماتریسی به عنوان، جایی کهحل برداری است، اغلب بخش مرکزی مسئله محاسباتی برای فرآیند حل عددی است. زمانی که ما مشخص کردیمو، تنها کاری که باید انجام دهیم این است که “پیدا کنیم”.

وقتی صحبت از روش های حل مسائل جبری خطی می شود، آنها می توانند مستقیم یا تکرار شونده باشند . روش های مستقیم تقریبی از راه حل را پیدا می کنندبا فاکتورسازی ماتریس در تعدادی از عملیات که به تعداد مجهولات بستگی دارد. فاکتورسازی گران است، اما زمانی که محاسبه شد، حل آن برای سمت راست جدید نسبتاً ارزان است.. راه حل تقریبیتنها زمانی در دسترس خواهد بود که تمام عملیات مورد نیاز توسط الگوریتم فاکتورسازی اجرا شود.

روش های تکراری با یک حدس اولیه تقریبی شروع می شوند و سپس با تکرارهای متوالی به بهبود آن ادامه می دهند . این بدان معناست که برخلاف روش‌های مستقیم، می‌توانیم الگوریتم تکراری را در هر تکرار متوقف کنیم و به جواب تقریبی دسترسی داشته باشیم.. توقف زودهنگام فرآیند تکراری منجر به یک راه حل تقریبی با دقت ضعیف می شود.

مستقیم یا تکراری؟

وقتی صحبت از انتخاب بین روش‌های راه‌حل مستقیم یا تکراری می‌شود، باید عوامل مختلفی را در نظر گرفت.

اولین نکته برنامه کاربردی و رایانه ای است که استفاده می شود. از آنجایی که روش های مستقیم از نظر حافظه و زمان برای CPU ها گران هستند، برای کاربردهای دو بعدی و سه بعدی کوچک تا متوسط ترجیح داده می شوند. برعکس، روش‌های تکراری مصرف حافظه کمتری دارند و برای کاربردهای سه بعدی بزرگ، از روش‌های مستقیم بهتر عمل می‌کنند. علاوه بر این، توجه به این نکته مهم است که تنظیم کردن روش‌های تکراری دشوارتر و کار کردن برای ماتریس‌های ناشی از مسائل چندفیزیکی دشوارتر است.

همانطور که می بینید، زمانی که ما باید در مورد بهترین حل کننده برای مشکل مورد نظر تصمیم بگیریم، متغیرهای مختلف زیادی وارد بازی می شوند. پیشنهاد من استفاده از یک نرم افزار شبیه سازی است که به شما امکان می دهد به بهترین روش های راه حل در کلاس دسترسی داشته باشید. این بدان معنی است که شما قادر خواهید بود با ابزارهای مناسب به برنامه خود رسیدگی کنید زیرا انتخاب شما بر اساس فیزیک درگیر و منابع محاسباتی موجود خواهد بود. در واقع زمان خوبی برای شبیه‌سازی برنامه شماست، زیرا روش‌های راه‌حل با سرعتی حتی بیشتر از سخت‌افزار بهبود یافته‌اند، که در چند دهه گذشته قابلیت‌های آن افزایش یافته است (نمودار زیر را ببینید). تمام روش های حل ذکر شده در نمودار در COMSOL Multiphysics موجود است.

طرحی که نرخ عملکرد فزاینده روش های راه حل را برجسته می کند.
نموداری که نرخ عملکرد فزاینده روش‌های راه‌حل (جامد) و سخت‌افزار (برق) را در مقایسه با زمان برجسته می‌کند. افسانه: GE نواری (حذف گاوسی، روش مستقیم)، گاوس-سایدل (روش تکراری)، SOR بهینه (آرامش متوالی، روش تکراری)، CG (گرید مزدوج، روش تکراری)، MG کامل (چند شبکه، روش تکراری). منبع: گزارش به رئیس جمهور ایالات متحده با عنوان “علم محاسباتی: تضمین رقابت پذیری آمریکا” که توسط کمیته مشورتی فناوری اطلاعات رئیس جمهور در سال 2005 نوشته شده است.

همکاران من که حل‌کننده‌ها را در COMSOL Multiphysics توسعه می‌دهند، به طور مداوم از این پیشرفت‌ها استفاده می‌کنند و اطمینان می‌دهند که ما روش‌های با کارایی بالا را به شما پیشنهاد می‌کنیم. بقیه این پست وبلاگ بر بحث در مورد ایده های اصلی در پس روش های چندشبکه ای متمرکز خواهد بود، زیرا آنها قوی ترین روش ها هستند.

چرا روش های چندشبکه ای ضروری هستند؟

برای اینکه شما را با ایده‌های اساسی پشت این روش حل آشنا کنم، آزمایش‌های عددی را به شما ارائه می‌دهم که محدودیت‌های ذاتی روش‌های تکراری را که روش‌های چندشبکه‌ای ساخته شده‌اند، نشان می‌دهد. برای اختصار، من فقط رفتار کیفی آنها را تحلیل می کنم (پیشنهاد می کنم برای جزئیات بیشتر در مورد آنچه در اینجا ذکر شده است، A Multigrid Tutorial اثر ویلیام ال. بریگز را بخوانید).

بیایید با یک حدس اولیه تقریبی متشکل از حالت های فوریه شروع به تکرار کنیم . می توان آنها را به صورت نوشتاری کرد، جایی کهعدد موج است و.

نمودار حالت های فوریه.
حالت های فوریه با. اینحالت شاملنیم موج سینوسی در دامنه برای مقادیر کوچک از، امواج بلند صاف وجود دارد. برای مقادیر بزرگتر، امواج نوسانی کوتاه وجود دارد.

نمودار کیفی زیر نشان می دهد که همگرایی برای امواج صاف کندتر و برای امواج نوسانی سریعتر است. امواج صاف برای عملکرد این روش‌های تکراری ساده – یک محدودیت ذاتی – مضر هستند. به طور معمول، یک حدس اولیه تقریبی شامل چندین حالت فوریه خواهد بود و همگرایی پس از اولین تکرارها شروع به کند شدن خواهد کرد. این به این دلیل است که اجزای نوسانی به طور موثر از خطا حذف می شوند، در حالی که اجزای صاف غالب هستند و در هر تکرار تقریباً بدون تغییر باقی می مانند. به عبارت دیگر، همگرایی در حال توقف است. به همین دلیل است که روش‌های تکراری ساده عملکرد خوبی ندارند. آنها برای اعداد موج کوچک خیلی آهسته همگرا می شوند.

نمودار کیفی نشان دهنده همگرایی.
گزارش حداکثر هنجار خطای جبری که در برابر عدد تکرار برای سه حدس اولیه مختلف رسم شده است ().

غلبه بر محدودیت های روش های تکراری ساده با اصلاح آنها برای افزایش کارایی آنها برای همه حالت های فوریه امکان پذیر است. بیایید نگاهی بیندازیم که چگونه روش های چندشبکه ای از چنین محدودیت هایی بهره می برند.

به عنوان مثال، بگویید که ما همچنین از یک شبکه درشت در طول فرآیند حل استفاده می کنیم. چند دلیل خوب برای این کار وجود دارد…

برای شروع، به نظر می رسد خطای مرتبط با امواج صاف دارای تعداد موج نسبتاً بالاتری است، به این معنی که همگرایی مؤثرتر خواهد بود. ثانیاً، محاسبه حدس اولیه بهبود یافته برای شبکه اصلی در یک شبکه درشت از طریق یک روش تکرار تودرتو ارزان‌تر است. بدیهی است که روش‌های محدودیت و طولانی‌سازی باید برای نقشه‌برداری از یک شبکه به شبکه دیگر توسعه یابند. در نهایت، هنگامی که همگرایی شروع به توقف می کند، روش اصلاح باقیمانده نیز می تواند از درمان بر روی یک شبکه درشت بهره مند شود که منجر به ایده اصلاح شبکه درشت می شود.

ما جزئیات بیشتری در مورد تکرار تو در تو و تصحیح شبکه درشت در یک پست وبلاگ بعدی به اشتراک خواهیم گذاشت. گوش به زنگ باشید!