حل معادلات میدان جبری

بسیاری از کاربران ما به خوبی از این واقعیت آگاه هستند که COMSOL Multiphysics را می توان برای حل معادلات دیفرانسیل جزئی (PDEs) و همچنین معادلات دیفرانسیل معمولی (ODE) و مسائل مقدار اولیه استفاده کرد. شاید کمتر واضح باشد که شما می توانید معادلات جبری و حتی ماورایی را نیز حل کنید، یا به عبارت دیگر، ریشه معادلات غیرخطی را در یک یا چند متغیر بدون مشتق در آنها بیابید. آیا برنامه های کاربردی واقعی برای این وجود دارد؟ کاملا!

قانون گاز غیر ایده آل

موردی را در نظر بگیرید که در آن شما یک شبیه سازی CFD را اجرا می کنید که منجر به یک میدان سرعت می شود،و میدان فشار،. حال، فرض کنید که در همان زمان می خواهید برای همرفت و هدایت یک میدان دما حل کنید،، در گاز:

علاوه بر این، فرض کنیم که چگالی،، توسط قانون گاز ایده آل ارائه می شود:

برای حل این مشکل می توانید به سادگی عبارت را جایگزین کنیدبه عنوان تابعی ازدر معادله گرما این منجر به:

که در آن همه کمیت ها به جز برای، که اکنون با COMSOL آن را حل می کنید.

این آسان است؛ قانون گاز ایده آل یک قانون دولتی است که به ما اجازه دسترسی می دهدبه شکل جبری بسته مناسب برای جایگزینی مستقیم.

با این حال، بیایید اکنون موردی را در نظر بگیریم که قانون گاز ایده آل این کار را نمی کند. مثلاً اگر گازی با وزن مولکولی بالا در فشارهای بالا داشته باشید، این می تواند باشد. به طور شماتیک، چنین قانون ایالتی می تواند به شکل زیر باشد:

اگر به پارامترهای فیزیکی چنین قانون ایالتی علاقه دارید، این منبع را بررسی کنید .

این یک معادله درجه سوم در استو ما می خواهیم برای آن حل کنیم. شما می توانید این کار را در اصل انجام دهید، اما کاملاً دست و پا گیر است و نباید فراموش کنیم که معادله به طور کلی دارای سه ریشه است. نحوه حل این معادلات با دست را می توانید در این منبع در مورد توابع مکعب بخوانید .

چیزی در مورد این وظیفه وجود دارد که ممکن است فرد بلافاصله متوجه نشود: از آنجا کهیک میدان فشار (فرض شناخته شده) در فضا است، ما در واقع یک معادله چند جمله ای درجه سوم برای حل آن در هر نقطه از فضا در دامنه CFD خود داریم. ما می توانیم این را معادله میدان جبری یا معادله جبری توزیع شده بنامیم . حل همه آن ریشه ها به صورت دستی کار چندان قابل کنترلی نیست. در عوض، برای انجام این کار باید به حل کننده های COMSOL تکیه کنیم. چگونه پیش برویم؟

ما از نظر مفهومی می‌توانیم این معادله جبری را شکلی منحط از یک معادله دیفرانسیل جزئی بدون مشتقات مکانی و زمانی ببینیم. راه های مختلفی برای فرموله کردن چنین معادله ای در محیط COMSOL وجود دارد. به عنوان مثال، با استفاده از رابط PDE Coefficient Form یا رابط ODEs و DAEs دامنه . با استفاده از رابط PDE فرم ضریب ، ما فقط تمام ضرایب عبارت های مشتق مکانی و زمانی را صفر می کنیم و با استفاده از یک مطالعه ثابت حل می کنیم. استفاده از Domain ODEs و DAEs اینترفیس شاید کمی ساده تر باشد زیرا هیچ اصطلاح مشتق از فضا برای شروع وجود ندارد.

استفاده از Domain ODEs و DAEs Interface

بیایید اکنون به یک مثال سریع بر اساس قانون گازهای غیر ایده آل فوق الذکر نگاهی بیندازیم. ما می خواهیم با انتخاب رابط ODEs و DAEs دامنه در Model Wizard شروع کنیم:

رابط Domain ODEs و DAEs را از Model Wizard انتخاب کنید

برای حل یک معادله جبری، باید از مطالعه ای استفاده کنیم که ثابت است . این در مرحله بعدی در Model Wizard انجام می‌شود و از حل‌کننده پیش‌فرض نیوتن میرایی استفاده می‌کند که برای اکثر اهداف حل ریشه به اندازه کافی عمومی است:

مطالعه ثابت

پس از اتمام Model Wizard، درخت مدل به این صورت ظاهر می شود:

درخت مدل که مطالعه ثابت ODE 1 توزیع شده را نشان می دهد

به طور پیش فرض، پنجره تنظیمات معادله برای ODE توزیع شده به صورت زیر است:

پنجره تنظیمات برای ODE توزیع شده

متغیر میدان مجهول که نشان دهنده چگالی است در اینجا فراخوانی می شود(اما ما به راحتی می توانیم این را تغییر دهیماگر می خواستیم). اکنون ممکن است تنظیم کنیمضریب صفر با این حال، از آنجایی که ما قبلاً یک مطالعه ثابت را انتخاب کرده‌ایم، شرایط مشتق زمانی این معادله توسط حل‌کننده در نظر گرفته نمی‌شود، بنابراین می‌توانیم آن را همانطور که هست رها کنیم. در این مورد، تنها چیزی که اهمیت دارد این است که ما در عبارت Source قرار داده ایم. سپس با استفاده از نام متغیر، معادله قانون گاز غیر ایده آل را در عبارت منبع تایپ می کنیمبرای چگالی:

قانون گاز غیر ایده آل

تنها چیزی که باقی می ماند این است که ضرایب را تعریف کنیم،،، وو همچنین میدان فشار داده شده. اکنون چند فرض ساده را انجام خواهیم داد.

بیایید فرض کنیم که دامنه CFD ما یک مربع واحد ساده در دوبعدی است. علاوه بر این، در اینجا فرض می‌کنیم که میدان فشار از نظر مکانی متغیر استو ما کار با واحدهای بدون بعد را انتخاب خواهیم کرد. در یک حالت واقعی، این میدان فشار البته از نتایج یک شبیه‌سازی CFD که همراه با این معادله حل شده است، گرفته می‌شود. همچنین تعدادی اعداد دلخواه را به این ضرایب اختصاص می دهیم:،،، و. این کار را می توان با تعریف پارامترها در زیر تعریف های جهانی به صورت زیر انجام داد:

پارامترها را تحت تعاریف جهانی تعریف کنید

پس از انجام این کار، می توانیم این معادله را حل کنیم و میدان چگالی حاصل را بدست آوریم:

میدان چگالی حاصل

این نمودار سطحی جواب معادله چند جمله ای درجه سوم را برای هر مقدار نشان می دهددر سراسر مستطیل واحد

مدیریت چندین ریشه

برای هر مقدار از، در هر نقطه، نمودار بالا تنها یکی از سه راه حل ممکن مربوط به سه ریشه معادله را نشان می دهد. ممکن است معیارهای تداوم بیشتری وجود داشته باشد که باید بر اساس ملاحظات فیزیکی بر راه حل اعمال کنیم. به عنوان مثال، اگر برخی از ریشه ها دارای ارزش پیچیده باشند، ممکن است بتوانیم آنها را نادیده بگیریم. ما می توانیم موردی داشته باشیم که راه حل به طور ناگهانی از یک ریشه قابل تحقق فیزیکی به دیگری در وسط دامنه تغییر کند. چنین رویدادی شاید با یک انتقال فاز مطابقت داشته باشد، مانند رفتن از مایع به گاز.

چگونه بفهمیم کدام یک از این راه حل ها را دریافت می کنیم؟ به طور کلی، پاسخ به این سوال سخت است. اگر یک شبیه‌سازی گذرا را در کنار یک قانون حالت جبری اجرا کنیم، تاریخچه زمانی ممکن است تعیین کند که قانون حالت در هر نقطه از فضا به کدام شاخه ریشه خواهد لغزید. هنگام استفاده از یک حل کننده ثابت، ریشه ای که پیدا می شود ممکن است توسط تنظیمات مقدار اولیه تعیین شود که سپس توسط حل کننده نیوتن به عنوان نقطه شروع برای تکرارهای آن و سپس در ناحیه همگرایی حل کننده با توجه به آن نقطه شروع استفاده می شود. . علاوه بر این، انتخاب طرح گسسته سازی، مانند ترتیب عناصر و نوع المان محدود، ممکن است روی ریشه هایی که توسط حل کننده انتخاب می شوند، تأثیر بگذارد.

برای اینکه ببینیم چه اتفاقی می‌افتد، اجازه دهید با یک معادله ساده‌تر آزمایش کنیم:

اگر این را با دست حل کنیم به دست می آوریم:

به طوری که اگر این را در مربع واحد خود حل کنیم، یک راه حل منحصر به فرد به دست می آوریمدرویادر. اگر اکنون این معادله ساده‌تر را در COMSOL با استفاده از همان روش‌هایی که در بالا ذکر شد وارد کنیم، نتایج زیر را برای دو مقدار اولیه متفاوت دریافت خواهیم کرد:

محلول با مقدار اولیه یکنواخت 1.9.

محلول با مقدار اولیه یکنواخت 2.1.

توجه داشته باشید که در حالت کلی، ممکن است از توزیع ناهمگن مقادیر اولیه استفاده کنیم و ریشه های مختلفی در قسمت های مختلف حوزه محاسباتی بدست آوریم:

راه حل با توزیع غیر یکنواخت مقادیر اولیه: u=1.9*(y=0.5) . در اینجا، مش با
مرحله تعریف شده توسط این توزیع مقدار اولیه تراز می شود و هموارسازی بین عناصر خاموش می شود.

نتیجه

برای انواع خاصی از شبیه سازی، ممکن است حل معادلات دیفرانسیل جزئی حاکم کافی نباشد. COMSOL Multiphysics توانایی حل معادلات جبری را در کنار رابط‌های فیزیک معمولی، مانند معادلات جریان سیال دارد، که ممکن است برای شبیه‌سازی‌های فیزیک پیشرفته‌تر حیاتی باشد. قابلیت‌ها به معادلات جبری محدود نمی‌شوند، بلکه می‌توانند معادلات به اصطلاح ماورایی، از جمله توابعی مانندیایا حتی معادلات کلی تر شامل انتگرال ها. نمونه‌های فوق از عملکرد اصلی COMSOL Multiphysics استفاده می‌کنند .