حل مسائل چند فیزیک

در اینجا ما دو دسته از الگوریتم‌های مورد استفاده برای حل مسائل اجزای محدود چندفیزیکی را در COMSOL Multiphysics معرفی می‌کنیم. تا کنون، ما یاد گرفته‌ایم که چگونه مسائل المان محدود تک فیزیک خطی و غیرخطی را مش‌بندی کنیم و حل کنیم، اما هنوز در نظر نگرفته‌ایم که چه اتفاقی می‌افتد وقتی چندین فیزیک وابسته به هم مختلف در یک حوزه حل شوند.

یک مسئله ساده چندفیزیکی حالت پایدار

بیایید با در نظر گرفتن یک مسئله چند فیزیک حالت پایدار بسیار ساده شروع کنیم: جفت شدن جریان الکتریکی حالت پایدار که از طریق یک شینه فلزی، انتقال حرارت در میله، و تغییر شکل‌های ساختاری جریان می‌یابد. گرمایش مقاومتی به دلیل جریان جریان ایجاد می شود که دمای میله را افزایش می دهد و باعث انبساط آن می شود. علاوه بر این، افزایش دما به اندازه ای قابل توجه خواهد بود که تغییرات الکتریکی، حرارتی و ساختاری خواص مواد با دما باید در نظر گرفته شود. می‌خواهیم جریان، میدان‌های دما و تغییر شکل‌ها و تنش‌ها را در شرایط حالت پایدار پیدا کنیم. شکل زیر شماتیکی از مشکل حل شده را نشان می دهد.

نمودار یک مسئله چندفیزیکی جریان الکتریکی حالت پایدار از طریق یک شینه فلزی
مسئله چند فیزیک در دست است.

معادلات مرتبط

در اینجا سه معادله دیفرانسیل جزئی حاکم حل شده است. ابتدا، معادله ای که توزیع ولتاژ در دامنه را توصیف می کند:

پس از گسسته سازی از طریق روش اجزای محدود ، می توانیم یک سیستم معادلات را به صورت زیر بنویسیم:

جایی که زیرنویس،، مجهولات ولتاژ و ماتریس سیستم را نشان می دهد،، به مجهولات دما وابسته است،. با فرض اینکه توزیع ولتاژ مشخص است، گرمایش مقاومتی حجمی را می توان از زیر محاسبه کرد:

جایی کهمیدان الکتریکی عبارت است از:. این منبع گرما در معادله حاکم برای دما نشان داده می شود:

و این معادله سیستم معادلات را به ما می دهد:

هنگامی که توزیع دما را در دامنه داریم، می توانیم جابجایی های ساختاری را حل کنیم:

جایی که ماتریس الاستیسیته،، بر اساس مدول یانگ وابسته به دما محاسبه می شود،. کرنش حرارتی تحمیلی استو کرنش است. سیستم معادلاتی که برای جابجایی ها حل می شود به صورت زیر نوشته می شود:

جایی که زیرنویس،، مجهولات جابجایی را نشان می دهد.

ما می توانیم این سیستم های معادلات را با هم ترکیب کنیم:

برای اختصار، می‌توانیم زیرنویس‌ها را در آرگومان‌ها حذف کنیم:

این واقعاً تمام چیزی است که در آن وجود دارد! هیچ تفاوت مفهومی بین حل یک مسئله غیرخطی فیزیک و حل یک مسئله فیزیک جفت شده وجود ندارد. همه چیزهایی که قبلاً در مورد حل مسائل تک فیزیک غیرخطی آموخته‌ایم، از جمله تمام بحث‌های مربوط به میرایی، بارگذاری و شیب‌بندی غیرخطی، و همچنین مش‌بندی، به همان اندازه برای حل یک مسئله چندفیزیکی معتبر است.

رویکرد کاملاً جفت شده

اما درک یک اشکال (گاهی بسیار جدی) در رویکرد فوق نیز مهم است. در طول تکرار نیوتن-رافسون، باید مشتق را ارزیابی کنیم،، پس بیایید آن را بنویسیم:

که در آن از یک نماد کوتاه برای ساده کردن و فشرده سازی بیان مشتق استفاده می کنیم، به عنوان مثال:

واضح است که ماتریس فوق غیر متقارن است و این می تواند منجر به یک مشکل شود: اگر ماتریس سیستم قطعی نباشد ، ممکن است نیاز به استفاده از حل کننده های مستقیم با حافظه فشرده تر داشته باشیم. (اگرچه حل‌کننده‌های تکراری، با انتخاب صحیح پیش‌شرطی‌کننده ، می‌توانند دسته وسیع‌تری از مسائل را حل کنند که نمی‌توان تضمین کرد که همه موارد را مدیریت می‌کنند.) حل چنین مشکل چندفیزیکی با یک حل‌کننده مستقیم هم زمان بر خواهد بود و هم حافظه.

با این حال، یک جایگزین وجود دارد. روش فوق که رویکرد کاملاً جفت شده نامیده می شود، فرض می کند که همه جفت های بین فیزیک باید همزمان در نظر گرفته شوند. در واقع، برای حل بسیاری از انواع مسائل چندفیزیکی، می‌توانیم از این عبارت‌های خارج از مورب در حین حل غفلت کنیم و با استفاده از یک رویکرد تفکیک‌شده با کارآمدتر حافظه و زمان حل کنیم.

رویکرد تفکیک شده

رویکرد Segreged هر فیزیک را به صورت متوالی بررسی می‌کند و از نتایج فیزیک حل‌شده قبلی برای ارزیابی بارها و خواص مواد برای فیزیک بعدی که حل می‌شود، استفاده می‌کند. بنابراین، با استفاده از مثال بالا، ابتدا یک تکرار نیوتن-رافسون برای محلول ولتاژ می گیریم:

جایی که برای اولین تکرار، باید حدس شروعی برای ولتاژ و دما داشته باشیم. خواص مواد با استفاده از شرایط اولیه داده شده برای میدان دما ارزیابی می شود. سپس محلول دما ارزیابی می شود:

جایی که برای اولین تکرار،، شرایط اولیه داده شده برای میدان دما برای ارزیابی خواص مواد استفاده می شود.، اما بارها بر اساس راه حل ولتاژی که به تازگی محاسبه شده است ارزیابی می شوند:. به طور مشابه، میدان جابجایی حل می شود:

که در آن خواص و بارهای مواد برای مسئله سازه با استفاده از میدان دما محاسبه شده در بالا محاسبه می شود.

سپس این تکرارها ادامه می یابد: ولتاژ، دما و جابجایی به طور مکرر به ترتیب محاسبه می شوند. همانطور که قبلاً تعریف شد ، الگوریتم تا رسیدن به همگرایی ادامه می یابد .

مزیت بزرگ روش فوق این است که می توان از حل کننده تکراری بهینه در هر مرحله فرعی خطی استفاده کرد. اکنون نه تنها در هر مرحله فرعی یک مسئله کوچکتر را حل می کنید، بلکه می توانید از حل کننده ای استفاده کنید که از نظر حافظه کارآمدتر است و به طور کلی سریعتر حل می شود. اگرچه رویکرد تفکیک شده به طور کلی نیاز به تکرارهای بیشتری تا زمان همگرایی دارد، هر تکرار زمان قابل توجهی کمتری نسبت به یک تکرار از رویکرد کاملاً جفت شده دارد.

الگوریتم مورد استفاده توسط حلگر تفکیک شده برای مدلی متشکل از n عدد فیزیک مختلف است:

شرایط اولیه را برای تمام فیزیک در مدل انتخاب کنید
یک شمارنده برای تعداد تکرارها راه اندازی کنید
با استفاده از مرحله قبل برای ارزیابی خواص مواد، اولین فیزیک را در دنباله جدا شده حل کنید
فیزیک دوم را با استفاده از بخشی از راه حل که تا این مرحله محاسبه شده است حل کنید
…
با استفاده از ( n -1) ^{قسمت‌های} محاسبه‌شده قبلی از راه‌حل‌ها ، ^فیزیکn را حل کنید.
2-6 تکرار کنید تا همگرایی، یا تا زمانی که تعداد تکرار مورد نظر از پیک مورد نظر فراتر رود

برای مسائل کلی چند فیزیک، همچنان باید ترتیب حل فیزیک را انتخاب کنید، اما نرم افزار پیشنهادات پیش فرضی را برای دنباله ای مناسب برای همه رابط های چند فیزیک داخلی دارد. COMSOL Multiphysics تنظیمات حل‌کننده خطی پیش‌فرض را برای هر فیزیک در دنباله جدا شده ارائه می‌کند.

هنگامی که رویکرد تفکیک شده قابل اجرا باشد، به همان پاسخی که رویکرد کاملاً جفت شده است همگرا می شود. رویکرد تفکیک شده معمولاً تکرارهای بیشتری برای همگرایی نیاز دارد. با این حال، حافظه و زمان مورد نیاز برای هر مرحله فرعی کمتر خواهد بود، بنابراین کل زمان حل و استفاده از حافظه می تواند با رویکرد تفکیک شده کمتر باشد.

خلاصه حل مسائل چند فیزیک

در این پست وبلاگ، ما دو دسته از الگوریتم‌هایی را که برای حل مسائل چندفیزیکی استفاده می‌شوند، تشریح کرده‌ایم – رویکرد کاملاً جفت و جدا شده . رویکرد کاملاً جفت شده اساساً مشابه روش نیوتن-رافسون است که قبلاً برای حل مسائل غیرخطی تک فیزیک توسعه یافته است. نشان داده شد که این بسیار حافظه فشرده است، اما برای مسائل چندفیزیکی که دارای تعاملات بسیار قوی بین فیزیک های مختلف در حال حل هستند، مفید و به طور کلی مورد نیاز است. از سوی دیگر، رویکرد تفکیک شده فرض می‌کند که هر فیزیک را می‌توان به طور مستقل حل کرد و از طریق فیزیک‌های مختلف در مدل تا زمان همگرایی تکرار می‌شود.