حل مدل های المان محدود استاتیک خطی

در این اولین ورودی وبلاگ از سری حل‌کننده جدیدمان، الگوریتم مورد استفاده برای حل تمام مسائل المان محدود استاتیک خطی را شرح می‌دهیم. این اطلاعات در زمینه یک مسئله المان محدود 1 بعدی بسیار ساده ارائه شده است، اما برای همه موارد قابل استفاده است و برای درک تکنیک‌های حل غیرخطی و چندفیزیکی پیچیده‌تر که در پست‌های وبلاگ آینده مورد بحث قرار می‌گیرد، مهم است.

چه چیزی یک مدل المان محدود را خطی و ایستا می کند

سیستمی را که در زیر نشان داده شده است، در نظر بگیرید، از یک فنر که در یک انتها به یک دیوار صلب و در انتهای دیگر با نیروی اعمال شده متصل است.

ما علاقه مند به یافتن جابجایی انتهای فنر هستیم که در آن نیرو اعمال می شود. با استفاده از واژگان روش اجزای محدود ، در اینجا یک مدل المان محدود تک عنصری داریم. فنر عنصر است و توسط دو گره در دو انتها محدود شده است. یکی از گره ها به طور صلب به دیوار ثابت می شود و گره دیگر به دلیل بار اعمال شده تغییر شکل می دهد. ما در تلاش برای یافتن جابجایی گره های ناشی از بار اعمال شده هستیم. این مسئله خطی است زیرا نه خواص مواد (ثابت فنر) و نه بارها به جواب بستگی ندارند. این یک مشکل ثابت است زیرا ما با این فرض که هیچ گونه تغییری از نظر زمان وجود ندارد، راه حل را پیدا می کنیم.

کار از طریق مدل

این مشکل را می توان به راحتی با قلم و کاغذ حل کرد، اما بیایید ببینیم که چگونه این کار با روشی دقیق تر انجام می شود. گره ای را در نظر بگیرید که در آن سعی می کنیم جابجایی را پیدا کنیم و موازنه نیروها را در حالت تعادل رسم کنیم:

می توانیم این را به صورت زیر بنویسیم:و ما این معادله را تابعی سیستم می نامیم، در حالت تعادل (شرایط حالت پایدار) تابع برابر با صفر است. ما می خواهیم ارزش آن را پیدا کنیمبه طوری که. بیایید عملکرد را نیز ترسیم کنیم:

البته در این مورد می توانیم با بررسی راه حل پیدا کنیم، اما به طور کلیبردار احتمالاً میلیون‌ها مجهول خواهد بود، بنابراین بیایید دقیق‌تر باشیم و به الگوریتم دقیق مورد استفاده نگاهی بیندازیم:

1. یک حدس شروع را انتخاب کنید، برای مثال:
2. عملکرد را در این مرحله ارزیابی کنید:
3. مشتق تابعی را ارزیابی کنید:
4. حل را محاسبه کنید:

الگوریتم فوق به روش نیوتن رافسون نیز معروف است. علاوه بر این، می‌توانیم این را به صورت گرافیکی به‌صورت زیر تجسم کنیم:

توجه داشته باشید که صرف نظر از نقطه شروع، راه حل در یک مرحله پیدا می شود. بنابراین، هر زمان که یک مسئله المان محدود استاتیک خطی را در COMSOL Multiphysics حل می کنید، نرم افزار از این الگوریتم برای یافتن راه حل پیروی می کند. حال، مثال بالا فقط یک مجهول دارد، بنابراین ما فقط باید یک معادله خطی را حل کنیم. به طور معمول مدل‌های شما هزاران یا حتی میلیون‌ها مجهول خواهند داشت، به این معنی که شما باید یک سیستم معادلات خطی را حل کنید، اما ایده یکسان است.

در نهایت، به مسئله مقیاس بندی عددی می پردازیم. هر زمان که مشکلی را در رایانه حل می کنیم، باید مشکل دقت محدود را به دلیل نمایش ممیز شناور اعداد در نظر بگیریم.. کامپیوترها نمی توانند فضای اعداد واقعی را به طور کامل نشان دهند. برای به حداقل رساندن اثر این، COMSOL یک ضریب مقیاس را برای معادلات قبل از حل آنها اعمال می کند. COMSOL به طور خودکار یک مقیاس بندی مناسب برای هر متغیر فیلد راه اندازی در مدل را انتخاب می کند، و این تقریباً هرگز نیازی به رسیدگی توسط کاربر ندارد، اما ارزش دانستن اینکه ضریب مقیاس چه تأثیری دارد. تا زمانی که در چند مرتبه بزرگی از مقدار متوسط ​​مقادیر موجود در محلول باشد، هیچ تعاملی لازم نیست. تنها در صورتی که مقیاس بندی بسیار متفاوت از مقدار حل مورد انتظار باشد، باید ضریب مقیاس تغییر کند.

برای خلاصه کردن آنچه که باید در مورد حل مدل های المان محدود استاتیک خطی بدانید:

1. صرف نظر از اینکه از چه حدس شروع استفاده می کنید، راه حل را در یک تکرار خواهید یافت
2. مقیاس بندی متغیرها برای رسیدگی به موضوع محاسبات ممیز شناور با دقت محدود انجام می شود.

چگونه فایل لاگ COMSOL را تفسیر کنیم

فایل لاگ

حال بیایید ببینیم چگونه می توان از اطلاعات بالا برای تفسیر فایل COMSOL Log یک مدل المان محدود استاتیک خطی معمولی استفاده کرد. در اینجا فایل گزارش (با شماره خطوط اضافه شده) مربوط به یک مشکل تنش حرارتی است:

1) حل کننده ثابت 1 در حل کننده 1 در 30 آوریل-2013 ساعت 17:41:45 شروع شد.
2) حل کننده خطی
3) تعداد درجات آزادی حل شده برای: 3651 (به اضافه 124 DOF داخلی).
4) ماتریس های متقارن یافت شد.
5) مقیاس برای متغیرهای وابسته:
6) میدان جابجایی (Material) (mod1.u): 0.0090
7) دما (mod1.T): 2.9e+002
8) Iter Damping Stepsize #Res #Jac #Sol
9) 1 1.0000000 4.7e-017 1 1 1
10) حل کننده ثابت 1 در حل کننده 1: زمان حل: 0 ثانیه
11) حافظه فیزیکی: 878 مگابایت
12) حافظه مجازی: 879 مگابایت

توضیحات

• خط 1 نوع حل کننده فراخوانی شده و زمان شروع را گزارش می کند.
• خط 2 گزارش می دهد که نرم افزار در حال فراخوانی حل کننده سیستم خطی است. (COMSOL می تواند به طور خودکار خطی یا غیرخطی بودن مشکل را تشخیص دهد و حل کننده مناسب را فراخوانی می کند.)
• خط 3 اندازه مشکل را بر حسب تعداد درجات آزادی (DOF) گزارش می کند. DOFهای داخلی (در صورت استفاده از آنها) معمولاً برای محاسبه شارهای مرزی استفاده می شوند و به طور قابل توجهی بر اندازه مشکل تأثیر نمی گذارند.
• خط 4 در مورد نوع ماتریس المان محدودی که باید حل شود گزارش می دهد.

خطوط 5-7 مقیاس بندی را گزارش می کنند. در این مورد، مشکل تنش حرارتی حل می شود، بنابراین COMSOL زمینه های جابجایی و دما را مقیاس می کند. مقیاس میدان جابجایی 0.0090 است، با استفاده از سیستم واحد مدل (متر) بنابراین تا زمانی که جابجایی های ساختاری کوچکتر از ~9 نانومتر (یا بزرگتر از 9 کیلومتر!) نباشد، این مقیاس برای جابجایی قابل قبول است. ضریب مقیاس میدان دما 293 K است. مگر اینکه یک مشکل برودتی (که در آن دما ممکن است 4 K +/- 0.001 K باشد) یا مشکلی با دماهای میلیون کلوین را حل کنیم، این مقیاس نیز قابل قبول است.

• خطوط 8-9 گزارش می دهند که برای حل این مشکل از یک تکرار نیوتن-رافسون استفاده شده است.
• خطوط 10-12 زمان حل و مورد نیاز حافظه را گزارش می کنند.

اکنون باید درک درستی از نحوه حل مسائل استاتیک خطی در COMSOL و نحوه تفسیر فایل log داشته باشید.