تعریف مختصات منحنی برای مواد ناهمسانگرد

بسیاری از مواد دارای خواص ناهمسانگردی هستند و در بسیاری از موارد، ناهمسانگردی از شکل ماده پیروی می کند. نرم افزار COMSOL Multiphysics روش های مختلفی را برای تعریف سیستم های مختصات منحنی ارائه می دهد. در اینجا، مفاهیم هر کدام و زمان استفاده از کدام روش را مورد بحث قرار می دهیم.

خواص ناهمسانگرد

خواص ناهمسانگرد در طیف گسترده ای از مناطق یافت می شود، مانند سازندهای سنگی با خواص لرزه ای ناهمسانگرد. کریستال های مایع مورد استفاده در نمایشگرهای LCD؛ مواد برای صنعت هوافضا، که باید سبک وزن باشند و همچنان بارهای بالا را تحمل کنند. یا بافت‌های نرمی که جایگزین‌های زیست‌پزشکی برای عملکرد مطلوب باید تقلید کنند.

مبانی سیستم های منحنی

در یک پست وبلاگ قبلی ، نحوه استفاده از رابط مختصات منحنی و نحوه استفاده از آن برای محاسبه رسانایی حرارتی ناهمسانگرد را دیدیم.

بیایید دوباره این کاربرد را بررسی کنیم و یک پلیمر تقویت شده با فیبر کربن را در نظر بگیریم. الیاف بافته شده در ماتریس اپوکسی دارای رسانایی حرارتی بالا در امتداد محور الیاف و رسانایی پایین در سطح مقطع هستند. بیان ناهمسانگردی با اشاره به سیستم مختصات دکارتی شناخته شده تقریبا غیرممکن است. اگر سیستم مختصاتی داشتیم که از الیاف پیروی می کرد، مشخص کردن خواص ناهمسانگرد ساده بود.

الیاف بافته شده در یک ماتریس اپوکسی.

چگونه می توان چنین سیستم مختصاتی را تعیین کرد؟ از نظر فیزیکی، اثرات متعددی وجود دارد که منجر به ایجاد یک میدان برداری از شکل هندسه می شود. به عنوان مثال، جریان از طریق الیاف یا هدایت گرما از یک سر به سر دیگر یا حتی دسته ای از سیم های حامل جریان که یک میدان مغناطیسی تولید می کنند. این دقیقاً همان روش هایی است که در نرم افزار COMSOL® برای محاسبه سیستم منحنی استفاده می شود. همه روش ها یک فیلد برداری را محاسبه می کنند،که اولین بردار پایه را تشکیل می دهد . از آنجایی که اکثر برنامه ها به یک فیلد برداری نرمال شده نیاز دارند، COMSOL Multiphysics به طور خودکار با تقسیم بر نرمال می شود.. یک فیلد برداری دوم به صورت دستی مشخص می شود و یکی از مختصات دکارتی اغلب انتخاب خوبی است. با شروع از این، بردار پایه دوم برای اطمینان از عمود بودن آن بازسازی می شودو عادی شد. حاصل ضرب این دو بردار پایه سوم را به دست می دهد ..

در داخل، نرم افزار از سیستم مختصات دکارتی استفاده می کندبرای محاسبه و تبدیل تمام کمیت های ارجاع به یک سیستم مختصات متفاوت. جهتی که توسط یک بردار داده می شود،، در یک سیستم مختصات دلخواه همیشه می تواند به مختصات دکارتی تبدیل شود، به شرح زیر:

اینجا،ماتریس تبدیل است. برای تبدیل معکوس، به سادگی از معکوس استفاده کنید،، و اگرپس از آن متعارف است.

در مرحله بعد، روش‌های مختلف موجود در COMSOL Multiphysics را نشان خواهم داد که می‌توان از آنها برای محاسبه یک سیستم مختصات منحنی استفاده کرد، که شامل موارد زیر است:

• روش انتشار
• روش تطبیقی
• روش جریان
• روش الاستیسیته

بیایید یک فیبر را انتخاب کنیم و از نزدیک نگاه کنیم.

روش انتشار

روش انتشار معادله لاپلاس را حل می کند:. راه حل،، یک پتانسیل اسکالر است و گرادیان آن اولین بردار پایه را تشکیل می دهد. از آنجایی که شما فقط برای یک پتانسیل اسکالر حل می کنید، این روش از نظر محاسباتی ارزان است. جهت میدان برداری با شرایط مرزی ورودی و خروجی مشخص می شود. اگر هندسه یک حلقه بسته است، می توانید شرط مرزی Jump را روی یک مرز داخلی برای تعیین جهت تنظیم کنید.

روش انتشار معادل حل معادله رسانش گرما ثابت با دمای ثابت در مرزهای ورودی و خروجی است. سپس گرادیان دما اولین بردار پایه را تشکیل می دهد، همانطور که در زیر نشان داده شده است.

سیستم مختصات منحنی (فلش ها)، گرادیان دما (خطوط جریان) و دما (سطح).

روش تطبیقی

روش تطبیقی ​​که مشابه روش انتشار است نیز بر اساس معادله لاپلاس است. علاوه بر این، میدان برداری حاصل با شکل هندسه تطبیق داده می شود به طوری که چگالی خط جریان در سطح مقطع هندسه ثابت است. این فرمول برای مدل‌سازی سیم‌پیچ‌های چند دور (بسته‌های سیم) در کاربردهای مغناطیسی سه‌بعدی با ماژول AC/DC ، افزودنی به COMSOL Multiphysics استفاده می‌شود. برای سیم پیچ های چند دور، چگالی جریان باید تقریباً در سطح مقطع ثابت باشد، زیرا فرض می شود که هر سیم جریان یکسانی را حمل می کند و سیم ها به طور مساوی فاصله دارند.

روش جریان

در اینجا، شما معادله استوکس تراکم ناپذیر را برای یک میدان برداری و یک اسکالر حل می کنید. بنابراین، این روش از نظر محاسباتی گرانترین روش است. شرایط مرزی مانند روش انتشار است. یک قیاس فیزیکی جریان خزنده تراکم ناپذیر با سرعت عادی ثابت در ورودی و فشار ثابت در خروجی است. میدان سرعت حاصل اولین بردار پایه را به شما می دهد.

سیستم مختصات منحنی (فلش)، میدان سرعت (خطوط جریان)، و فشار (سطح).

روش الاستیسیته

روش کشش معادله مقدار ویژه زیر را حل می کند:

جایی کهفیلد برداری است،ماتریس هویت ومقدار ویژه

این روش از نظر هزینه‌های محاسباتی در مقایسه با روش جریان کمی ارزان‌تر است زیرا شما فقط برای یک میدان برداری حل می‌کنید. این تفاوت در عملکرد در مدل های دو بعدی بیشتر مشهود است. شرایط مرزی ورودی و خروجی یکسان است،. قبل از اجرای روش تطبیقی، از این روش برای مدل‌سازی کویل‌های چند چرخشی استفاده می‌شد، زیرا بهترین نتایج را از نظر چگالی ثابت خط جریان در مقطع ارائه می‌کرد.

سیستم مختصات منحنی (فلش ها)، جهت سیم پیچ (خطوط جریان خاکستری) و چگالی شار مغناطیسی (خطوط جریان قرمز).

جدای از این روش‌های از پیش تعریف‌شده، نرم‌افزار COMSOL® نیز طبق معمول یک ورودی تعریف‌شده توسط کاربر ارائه می‌دهد. ممکن است با سناریوهای دیگری روبرو شوید که بخواهید مختصات منحنی را به صورت دستی پیاده سازی کنید، مانند ماده هایپرالاستیک ناهمسانگرد برای مدل سازی بافت نرم کلاژنی در دیواره های شریانی .

کدام روش را انتخاب کنم؟

در نگاه اول، همه روش ها به یک سیستم مختصات منتهی می شوند. با این حال، برخی از اشکال نیاز به توجه ویژه دارند، و انتخاب روش می تواند منجر به نتایج بسیار متفاوتی در زمانی که سیستم مختصات برای یک کاربرد فیزیکی استفاده می شود، شود. به هندسه هایی که حداقل یکی از ویژگی های زیر را دارند توجه کنید.

انحنا

بیایید نگاهی دقیق‌تر به خطوط ساده برای روش‌های مختلف بیندازیم. به یاد داشته باشید، خطوط جریان از فیلد برداری پیروی می کنند که اولین بردار پایه را تعریف می کند. آنها از نقاط مساوی شروع می شوند اما مسیرهای مختلفی را دنبال می کنند، همانطور که در زیر مشاهده می شود.

روش انتشار: خطوط جریانی “کوتاه ترین” مسیر را دنبال می کنند.

 

روش تطبیقی: خطوط جریان به طور یکنواخت توزیع شده است.

 

روش الاستیسیته: خطوط جریان تمایل به تجمع در خم محدب دارند.

 

روش جریان: خطوط جریان تمایل به تجمع در خم محدب دارند.

 

اگر خم‌ها بسیار تیز باشند، ویژگی‌های هر روش متمایزتر است و همچنین روش تطبیقی ​​می‌تواند چگالی خط جریان غیریکنواخت ایجاد کند.

مقطع متغیر

در این حالت، روش الاستیسیته ممکن است شکست بخورد، و شما یک مقدار ویژه با بردارهای ویژه که سیستم مختصات مورد نیاز را تولید نمی کنند، به دست می آورید. از طرف دیگر، ممکن است مجبور شوید به صورت دستی مقدار ویژه صحیح را جستجو کنید. می بینیم که خطوط جریان نیز در قسمت بالایی هندسه کاملاً از شکل پیروی نمی کنند. رفتاری مشابه، اما نه به همان اندازه متمایز، با روش‌های انتشار و تطبیقی ​​مشاهده می‌شود. روش جریان بهترین نتایج را در اینجا ارائه می دهد اما از نظر محاسباتی نیز گران ترین است.

روش انتشار

 

روش تطبیقی

 

روش الاستیسیته.

 

روش جریان.

 

خطوط جریان در امتداد صفحه مرکزی هندسه.

کاربرد در انتقال حرارت

بیایید به مدل خود با الیافی که دارای هدایت حرارتی ناهمسانگرد هستند برگردیمدر جهت فیبر وعمود بر این اگر این جهات با محورهای سیستم مختصات منطبق باشد، هدایت حرارتی – یک تانسور مرتبه دوم – دارای 0 عنصر خارج از مورب است.

برای اینکه بتوان از این فرم مورب استفاده کرد، سیستم مختصات منحنی برای الیاف باید قبل از حل انتقال حرارت محاسبه شود. از آنجایی که هندسه دارای خمیدگی های تیز یا مقطع متغیر نیست، روش انتشار راه حل سریعی برای سیستم مختصات منحنی ارائه می دهد.

پس از آن می توانید به این سیستم مختصات در گره Heat Transfer in Fibers مراجعه کنید . ناهمسانگردی هدایت حرارتی را می توان در گره Materials با نحو تعریف کرد.. همچنین، می‌توانید ورودی تعریف‌شده توسط کاربر را در گره انتقال حرارت مرتبط انتخاب کنید.

تعریف ناهمسانگردی در گره انتقال حرارت مرتبط

در مدل، یک منبع حرارتی مرزی به شکل یک پالس گاوسی به مرکز هندسه اعمال می‌شود و دما در امتداد الیاف پخش می‌شود.

خطوط جریان نشان دهنده میدان برداری به دست آمده با رابط مختصات منحنی است .

اگر می خواهید برای مثال، جزء xx هدایت حرارتی را تجسم کنید ()، به خاطر داشته باشید که مولفه xx – را در مختصات دکارتی رسم می کنید. سپس، تانسور هدایت حرارتی،، برای الیاف به شکل غیر قطری است، با توجه به تبدیل توضیح داده شده در بالا. سیستم بردار پایه محلی، که برای تعریف استفاده شد، اکنون در فضا تغییر می کند و همینطور. در این مدل می توانید اجزای بردار هدایت حرارتی را به عنوان مثال در نمودار Slice رسم کنید. می‌توانید آن‌ها را از منوی Expressions در پنجره تنظیمات مربوطه انتخاب کنید یا به سادگی تایپ کنید ht.kxx( htبرچسب رابط Heat Transfer in Solids که برای این مدل استفاده شد کجاست).

نتایجی که اظهار شده

این پست وبلاگ روش‌های مختلف برای تعریف سیستم‌های مختصات منحنی که در COMSOL Multiphysics موجود هستند و همچنین زمان انتخاب یکی از دیگری را توضیح داده است.

به طور خلاصه، روش تطبیقی ​​بهترین راه حل را برای اکثر موارد با هزینه های محاسباتی نسبتاً کم ارائه می دهد. روش انتشار حتی هزینه‌های محاسباتی کمتری دارد و برای هندسه‌های ساده بدون خمیدگی یا سطوح مقطع متفاوت مناسب است. روش های دیگر می توانند در برخی موارد سودمند باشند و برای کاربردهای خاصی جالب هستند.

• روش انتشار
  • مزایا: هزینه محاسباتی کم
  • معایب: فیلد برداری محاسبه شده تمایل دارد کوتاه ترین مسیر را در خم ها طی کند
• روش تطبیقی
  • مزایا: هزینه محاسباتی کم، بهترین راه حل را برای اکثر موارد ارائه می دهد
  • معایب: سطح مقطع متغیر همیشه به خوبی انجام نمی شود
• روش الاستیسیته
  • مزایا: هزینه محاسباتی کمتر از روش جریان، نمایش بهتر خم های متوسط ​​نسبت به روش انتشار
  • معایب: اغلب نیاز به انتخاب دستی مقدار ویژه دارد و در همه موارد قوی نیست
• روش جریان
  • مزایا: روش قوی، پشتیبانی از تغییرات مقطع و خمیدگی تیز
  • معایب: هزینه محاسباتی اغلب بیشتر است

برای امتحان مدل فیبر کربنی ارائه شده در اینجا، روی دکمه زیر کلیک کنید.

مدل آموزشی را دریافت کنید

 

یادداشت سردبیر: این پست وبلاگ در 5 دسامبر 2018 به روز شد تا اطلاعاتی در مورد روش تطبیقی ​​داشته باشد.