تئوری آکوستیک ترموویسکوز: تلفات حرارتی و ویسکوز

هنگامی که صدا در ساختارها و هندسه هایی با ابعاد کوچک منتشر می شود، امواج صوتی به دلیل تلفات حرارتی و چسبناک ضعیف می شوند. به طور خاص، تلفات در لایه های مرزی حرارتی و چسبناک صوتی نزدیک دیوارها رخ می دهد. این پدیده شناخته شده باید برای ارزیابی چگونگی تأثیر این تلفات بر سیستم‌های صوتی ترموویسکوز در نظر گرفته شود تا بتوان مدل‌های دقیقی ساخت و با اندازه‌گیری‌های تجربی مطابقت داد.

مقدمه ای بر آکوستیک ترموویسکوز

هنگام مدل‌سازی پاسخ مبدل‌های کوچک، مانند میکروفون‌های خازنی، میکروفون‌های MEMS، و بلندگوهای مینیاتوری، باید تلفات حرارتی و چسبناکی را نیز لحاظ کرد. کاربردهای دیگر شامل تجزیه و تحلیل بازخورد در سمعک و دستگاه های تلفن همراه و همچنین مطالعه ارتعاشات میرا سازه های MEMS است.

تجزیه و تحلیل امپدانس انتقال شبیه ساز کانال گوش مسدود استاندارد IEC 60318-4، که گاهی اوقات به عنوان کوپلر 711 از آن یاد می شود، مثال خوبی برای نشان دادن شبیه سازی یک دستگاه ترموالکتریک است و در شکل زیر نشان داده شده است. در نمودار سمت راست، پاسخ با و بدون تلفات صوتی ترموویسکوز مدل شده است. بدیهی است که این نوع تلفات باید در یک شبیه سازی گنجانده شوند تا رفتار صحیح را هنگام مقایسه منحنی ها با داده های استاندارد نشان دهند.

توزیع فشار در داخل یک شبیه ساز کانال گوش مسدود در 7850 هرتز (سمت چپ)، مطابق با استاندارد IEC 60318-4. امپدانس انتقال مدل شده کوپلر به رنگ آبی نشان داده شده است، شامل تلفات حرارتی و چسبناک، همراه با منحنی های استاندارد تجویز شده به رنگ قرمز و منحنی حاصل از یک مدل بدون تلفات خالص به رنگ سبز (سمت راست).

اثر ترموویسکوز معمولاً در رزونانس‌ها بارزتر است، آن‌ها را گسترش می‌دهد و فرکانس آن‌ها را پایین می‌آورد. برای مدل‌سازی این اثرات، لازم است که اثرات هدایت حرارتی و تلفات ویسکوز به طور صریح در معادلات حاکم، حل تکانه از طریق معادلات ناویر-استوکس ، جرم (تداوم) و معادلات بقای انرژی گنجانده شود. این با حل معادلات آکوستیک ترموویسکوز در رابط های صوتی ترموویسکوز در ماژول آکوستیک به دست می آید. معادلات همچنین به عنوان آکوستیک ویسکوترمال یا معادلات خطی شده ناویر-استوکس شناخته می شوند.

در اینجا، ما پس‌زمینه فیزیکی معادلات آکوستیک ترموویسکوز را به همراه مشخصه مهم لایه مرزی ارائه خواهیم کرد: مقیاس طول. ما همچنین شرح کوتاهی از پارامترهای مواد لازم برای توصیف رسانه سیال ارائه خواهیم داد.

کاوش در فیزیک پشت آکوستیک ترموویسکوز

امواج آکوستیک انتشار نوسانات خطی کوچک فشار در بالای یک فشار ثابت پس زمینه (اتمسفر) هستند. معادلات حاکم بر نوسانات (معادله موج یا معادله هلمهولتز) با اغتشاش یا خطی کردن معادلات اساسی حاکم بر مکانیک سیالات، از جمله معادلات ناویر-استوکس، معادله تکانه، معادله تداوم و معادله انرژی به دست می‌آیند. این منجر به معادلات بقای تکانه، جرم و انرژی برای هر اغتشاش کوچک (آکوستیک) می شود.

برای بسیاری از کاربردهای شبیه‌سازی آکوستیک، یک سری فرضیات برای ساده‌سازی این معادلات ایجاد می‌شود. سیستم بدون تلفات و ایزنتروپیک (آدیاباتیک و برگشت پذیر) فرض می شود. با این حال، اگر شما هر دو اثر چسبناک و هدایت گرما را حفظ کنید، در نهایت با معادلاتی برای آکوستیک ترموویسکوز مواجه خواهید شد که اختلالات صوتی در فشار، سرعت و دما را حل می کند.

استخراج معادلات حاکم

روش استخراج معادلات حاکم در حوزه فرکانس با فرض نوسانات هارمونیک کوچک در مورد خواص پس زمینه ثابت شروع می شود. متغیرهای وابسته شکل می گیرند

جایی کهفشار است،میدان سرعت است،دما است وفرکانس زاویه ای است.

متغیرهای Primed (‘) متغیرهای صوتی هستند، در حالی که متغیرهایی که با زیرنویس 0 همراه شده اند، مقادیر میانگین جریان پس زمینه را نشان می دهند.

در آکوستیک ترموویسکوز، سیال پس‌زمینه ساکن فرض می‌شود به طوری که. فشار پس زمینهو دمای پس زمینهباید مشخص شوند (آنها می توانند توابع فضا باشندو). درج معادله فوق در معادلات حاکم و تنها حفظ عباراتی که در متغیرهای مرتبه اول خطی هستند، معادلات حاکم برای انتشار امواج صوتی، از جمله تلفات ویسکوز و حرارتی را به دست می‌دهد.

توجه: جزئیات این فرآیند را می توان در راهنمای کاربر ماژول آکوستیک در بخش “پیشینه تئوری برای شاخه آکوستیک ترموویسکوز” یافت.

معادلات حاکم در واسط Thermoviscous Acoustics ، در حوزه فرکانس، معادله پیوستگی هستند (با حذف اعداد اول از همه متغیرهای صوتی)

جایی کهچگالی پس زمینه است. معادله تکانه

جایی کهویسکوزیته دینامیکی است،ویسکوزیته حجیم است و عبارت سمت راست نشان دهنده واگرایی تانسور تنش است. معادله بقای انرژی

جایی کهظرفیت گرمایی در فشار ثابت است،هدایت حرارتی است،ضریب انبساط حرارتی (ایزوباریک) است ویک منبع گرمای احتمالی است. و در نهایت، معادله خطی حالت، که تغییرات فشار، دما و چگالی را مرتبط می کند.

جایی کهتراکم پذیری همدما است.

سمت چپ معادلات حاکم نشان دهنده مقادیر حفظ شده است: جرم; تکانه؛ و انرژی (در واقع آنتروپی). در حوزه فرکانس، ضرب بامربوط به تمایز با توجه به زمان است. عبارات سمت راست نشان دهنده فرآیندهایی هستند که به صورت محلی مقدار ذخیره شده مربوطه را تغییر می دهند یا تغییر می دهند. در دو معادله، شرایط تلفات انتشاری به دلیل برش چسبناک و هدایت حرارتی وجود دارد. تلفات ویسکوز زمانی وجود دارد که گرادیان در میدان سرعت وجود داشته باشد، در حالی که تلفات حرارتی زمانی وجود دارد که گرادیان در دما وجود دارد.

لایه های مرزی چسبناک و حرارتی

هنگامی که امواج صوتی در یک سیال محصور شده توسط دیواره ها منتشر می شوند، به اصطلاح لایه های مرزی چسبناک و حرارتی در سطوح جامد ایجاد می شوند. در دیوار، شرایط بدون لغزش برای میدان سرعت اعمال می شود،و شرایط همدما برای دما،. شرایط همدما یک تقریب بسیار خوب است، زیرا رسانایی گرمایی معمولاً در جامدات نسبت به سیالات مرتبه‌ای بالاتر است. این دو حالت باعث ایجاد لایه مرزی آکوستیک می شود که از لایه های مرزی چسبناک و حرارتی تشکیل شده است. جریان از حالت توده ای که تقریباً بدون تلفات است و با شرایط ایزنتروپیک (آدیاباتیک) توصیف می شود به شرایط این لایه تبدیل می شود.

مشکل انتشار موج هارمونیک زمانی در صفحه افقی در امتداد یک دیوار (این می تواند امواجی باشد که در بخش کوچکی از لوله منتشر می شوند) در شکل های زیر نشان داده شده است. شکل سمت چپ دامنه سرعت را نشان می دهد، شکل سمت راست تغییرات دمای سیال را از دیواره به سمت توده نشان می دهد، در حالی که شکل وسط بزرگی سرعت و همچنین انیمیشنی را نشان می دهد که بردار سرعت را در یک دوره هارمونیک نشان می دهد.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

دامنه سرعت (چپ) و دمای سیال (راست)، از دیوار به قسمت عمده، یک موج صوتی که در صفحه افقی (پایین) منتشر می شود. ضخامت لایه مرزی چسبناک و حرارتی با خطوط نقطه قرمز نزدیک به دیوار نشان داده می شود. خطوط نقطه چین بالا نشان می دهدبرابر ضخامت لایه مرزی، در هر مورد. انیمیشن اجزای سرعت صوتی را نشان می دهد، در حالی که طرح رنگی دامنه سرعت را نشان می دهد.

لایه های مرزی چسبناک و حرارتی به وضوح قابل مشاهده هستند. ضخامت ها گاهی اوقات به عنوان عمق نفوذ چسبناک و حرارتی نامیده می شود. از آنجایی که گرادیان ها در لایه مرزی بزرگ هستند، تلفات در اینجا نیز زیاد است. این بدان معنی است که در سیستم هایی با ابعاد نسبتاً کوچک، تلفات مربوط به لایه مرزی مهم می شود. در بسیاری از برنامه‌های مهندسی (مبدل‌های مینیاتوری، دستگاه‌های موبایل و موارد دیگر)، از جمله تلفات مرتبط با لایه مرزی به منظور مدل‌سازی رفتار و پاسخ فیزیکی صحیح ضروری است.

طول مشخصه چسبناک به صورت یک خط نقطه قرمز در نمودارهای سرعت و دما نشان داده شده در بالا، همراه بابرابر مقدار (معروف به طول موج چسبناک/حرارتی). دو طول مشخصه با عدد پراندتل بی بعد، Pr مرتبط هستند

که نسبت بین تلفات ویسکوز و تلفات حرارتی در یک سیستم را نشان می دهد. برای هوا، این عدد 0.7 است، در حالی که برای آب حدود 7.1 است. در هوا، اثرات حرارتی و چسبناک تقریباً از نظر اهمیت یکسان هستند، در حالی که برای آب (و بیشتر سیالات دیگر)، تلفات حرارتی نقش جزئی تری دارند. ضخامت لایه مرزی چسبناک و حرارتی به عنوان متغیرهای از پیش تعریف شده برای استفاده در پس پردازش در ماژول آکوستیک وجود دارد و آنها را با ta.d_viscو نشان می دهند ta.d_therm. عدد پراندتل با نشان داده می شود ta.Pr.

مسئله موج صفحه را می توان به صورت تحلیلی و عباراتی برای ویسکوز حل کرد () و حرارتی () ضخامت لایه مرزی را می توان متعاقباً بدست آورد. آنها توسط

ارزش0.22 میلی متر برای هوا و 0.057 میلی متر برای آب در 100 هرتز، 20 درجه سانتی گراد و 1 اتمسفر است. شکل های زیر لایه های مرزی چسبناک و حرارتی را در طیف وسیعی از فرکانس ها نشان می دهد.

مقدار ویسکوز () و حرارتی () ضخامت لایه مرزی به عنوان تابعی از فرکانس هوا (چپ) و آب (راست).

این نشان دهنده اثر کاهشی تلفات ویسکوزیته و حرارتی در افزایش فرکانس انتشار امواج صوتی است. در نهایت، اثر مهم دیگری که هنگام مدل‌سازی با رابط Thermoviscous Acoustics ثبت می‌شود ، انتقال از آکوستیک آدیاباتیک به همدما در فرکانس‌های پایین در دستگاه‌های کوچک است. این اثر زمانی رخ می‌دهد که لایه مرزی حرارتی روی تمام دستگاه کشیده شود و برای مثال در میکروفون‌های خازنی مانند میکروفون خازنی B&K 4133 مهم است . در شرایط همدما، سرعت صوت به سرعت همدما تغییر می کند.

تلفات حجیم، تضعیف و آکوستیک ناحیه باریک

توجه به این نکته مهم است که تلفات ویسکوزیته و حرارتی نیز در قسمت عمده سیال وجود دارد. اینها تلفاتی هستند که معمولاً زمانی اتفاق می‌افتند که سیگنال‌های صوتی در فواصل طولانی منتشر می‌شوند و ضعیف می‌شوند. یکی از نمونه های این سیگنال های سونار است. این نوع تلفات در هوا فقط در فرکانس های بسیار بالا غالب هستند (در فرکانس های صوتی می توان از آنها چشم پوشی کرد). تلفات عمده، البته، توسط معادلات حاکم برای آکوستیک ترموویسکوز نیز توصیف می شود، زیرا آنها شامل تمام فیزیک می شوند. با این حال، مدل‌سازی دامنه‌های بزرگ با معادلات صوتی ترموویسکوز از نظر محاسباتی بسیار گران است. در ماژول آکوستیک، به جای آن باید از رابط آکوستیک فشار استفاده کنید و یکی از مدل‌های سیال موجود را انتخاب کنید: چسبناک ، رسانای حرارتی, یا رسانای حرارتی و چسبناک .

مدل‌سازی با رابط Thermoviscous Acoustics می‌تواند از نظر محاسباتی گران باشد زیرا جزئیات مورد نیاز برای ثبت تمام اثرات فیزیکی است. در مواردی که امواج صوتی در موجبرها یا مجاری با مقطع ثابت منتشر می‌شوند، تلفات ترموویسکوز را می‌توان با استفاده از ویژگی آکوستیک ناحیه باریک در رابط آکوستیک فشار، دامنه فرکانس مدل‌سازی کرد . این ویژگی دامنه تلفات مربوط به لایه های مرزی صوتی را به روشی همگن به سیال اضافه می کند. زیان ها به صورت تحلیلی به دست می آیند، بنابراین برای این مورد دقیق هستند. این ویژگی برای کاهش اندازه مدل یا دریافت سریع اولین ارزیابی از نتایج قبل از حرکت به مدل کامل و دقیق ترموویسکوز بسیار مفید است.

پارامترهای مواد

حل یک مدل صوتی کامل ترموویسکوز شامل تعریف چندین پارامتر مواد است:

• ویسکوزیته دینامیکی،
  • ویسکوزیته دینامیکیمقاومت سیال در برابر برش در سیال را اندازه گیری می کند. ثابتی است که تنش را به شیب سرعت مرتبط می کند. ویسکوزیته دینامیکی مربوط به ویسکوزیته سینماتیکی استتوسط رابطه. نماد ویسکوزیته دینامیکیگاهی اوقات نیز استفاده می شود.
• ویسکوزیته توده ای،
  • ویسکوزیته حجیم به عنوان ویسکوزیته حجمی، ویسکوزیته دوم یا ویسکوزیته انبساطی نیز شناخته می شود. مربوط به تلفاتی است که در اثر فشرده شدن و انبساط سیال ظاهر می شود.در عبارت تانسور تنش (سمت راست معادله 3) ظاهر می شود، که مربوط به تراکم پذیری () سیال حجیم. اندازه گیری این فاکتور دشوار است و اغلب به فرکانس بستگی دارد.
• ظرفیت گرمایی در فشار ثابت (ویژه)،
  • این پارامتر ماده میزان انرژی مورد نیاز برای تغییر دمای سیال (در فشار ثابت) را اندازه گیری می کند.
• ضریب هدایت حرارتی،
  • ضریب تناسب بین گرادیان دما و شار گرما در قانون هدایت حرارتی فوریه.
• ضریب انبساط حرارتی (ایزوباریک)،
  • این انبساط حرارتی حجمی سیال است و بیانگر توانایی سیال برای انبساط در هنگام افزایش دمای آن است.
• تراکم پذیری ایزوترمال،
  • یک پارامتر مهم در معادله وضعیت سیال. تغییرات فشار را به تغییر حجم در سیال مرتبط می کند. تراکم پذیری همدما به تراکم پذیری معمول (ایسنتروپیک) از طریق نسبت گرمای ویژه توسط.

اندیشه های پایانی در مورد نظریه آکوستیک ترموویسکوز

اکنون که تئوری پشت آکوستیک ترموویسکوز و معادلات مربوطه را مورد بحث قرار دادیم، می‌توانیم به نکات و ترفندهایی برای تنظیم یک مدل آکوستیک ترموویسکوز با استفاده از COMSOL Multiphysics و ماژول آکوستیک برویم. ما در مورد این موضوع و همچنین مثال‌ها و کاربردهای بسیاری در پست وبلاگ بعدی این مجموعه بحث خواهیم کرد .

مطالعه بیشتر و مراجع

• بخش “شاخه آکوستیک ترموویسکوز” در راهنمای کاربر ماژول آکوستیک اسناد COMSOL
• DT Blackstock، “مبانی آکوستیک فیزیکی”، جان وایلی و پسران، 2000
• S. Temkin، “عناصر آکوستیک”، انجمن آکوستیک آمریکا، 2001
• B. Lautrup، “فیزیک ماده پیوسته”، ویرایش دوم، انتشارات CRC، 2011
• PM Morse و KU Ingard، “آکوستیک نظری”، انتشارات دانشگاه پرینستون
• AD Pierce، “آکوستیک: مقدمه ای بر اصول و کاربردهای فیزیکی آن”، انجمن آکوستیک آمریکا، 1989
• AS Dukhin و PJ Goetz، “اندازه گیری های ویسکوزیته و تراکم پذیری توده با استفاده از طیف سنجی صوتی”، J. Chem. فیزیک 130, 124519 (2009)

یادداشت ویرایشگر: این پست وبلاگ در تاریخ 7/12/2016 به روز شد تا با نسخه 5.2a COMSOL Multiphysics سازگار باشد.