بهبود همگرایی مسائل چندفیزیکی

در مطلب قبلی وبلاگ خود، الگوریتم‌های کاملاً جفت و جداشده را معرفی کردیم که برای حل مسائل چندفیزیکی حالت پایدار در COMSOL استفاده می‌شوند. در اینجا به بررسی تکنیک هایی برای تسریع همگرایی این دو روش می پردازیم.

تکنیک های شیب دار بار و شیب غیرخطی

همانطور که تازه یاد گرفتیم، رویکرد کاملاً جفت شده برای حل یک مسئله غیرخطی حالت پایدار در واقع از همان الگوریتم نیوتن-رافسون میرا شده استفاده می‌کند که برای حل یک مسئله غیرخطی تک فیزیک استفاده می‌شود. اگرچه این الگوریتم برای بسیاری از موارد به خوبی همگرا می شود، اما اگر انتخاب شرایط اولیه ضعیف باشد، می تواند شکست بخورد یا به کندی همگرا شود. بنابراین جای تعجب نیست که تکنیک‌هایی که قبلاً به آن‌ها نگاه کرده‌ایم، مانند Load Ramping و Nonlinearity Ramping ، زمانی که برای یک مسئله چندفیزیکی به کار می‌روند، به همان اندازه معتبر هستند. در واقع، واقعاً چیزی برای افزودن به این تکنیک ها وجود ندارد – می توان از آنها به طور معادل استفاده کرد.

تشدید مسائل چندفیزیکی

یک نوع جدید از تکنیک شیب‌پینگ غیرخطی وجود دارد و آن افزایش جفت بین فیزیک است. از نظر عددی ، در واقع با تکنیک رمپینگ غیرخطی که قبلاً مورد بحث قرار گرفت، یکسان است، اما از نظر مفهومی ، به‌جای بزرگی غیرخطی بودن در یک فیزیک واحد، بزرگی جفت‌های بین فیزیک است که افزایش می‌یابد. تنها مشکل، انتخاب و اجرای اصطلاحی است که باید افزایش یابد. خوشبختانه، بیشتر مسائل چند فیزیک، جفت‌های کاملاً آشکاری بین فیزیک دارند، که می‌توان آن‌ها را به سادگی با نوشتن معادلات حاکم و شرایط مرزی و بررسی اینکه چگونه خواص و بارهای مواد به متغیرهایی که حل می‌شوند، وابسته هستند، پیدا کرد.

مهمترین چیزی که باید به خاطر بسپارید این است که الگوریتم اساسی مورد استفاده برای حل یک مسئله چندفیزیکی کاملاً جفت شده دقیقاً مشابه الگوریتم مورد استفاده برای حل یک مسئله فیزیک غیرخطی است. با در نظر گرفتن این موضوع، متوجه خواهید شد که مسائل مولتی فیزیک کاملاً جفت شده واقعاً هیچ مانع مفهومی دیگری فراتر از درک چگونگی تعامل فیزیک در مدل با یکدیگر ایجاد نمی کنند.

از سوی دیگر، رویکرد تفکیک‌شده می‌تواند به انواع استراتژی‌های راه‌حل مختلف منجر شود که می‌تواند همگرایی راه‌حل‌ها را تا حد زیادی تسریع کند و به طور قابل‌توجهی بر میزان حافظه مورد نیاز برای حل مسئله تأثیر بگذارد. برای درک این موضوع، بیایید یک فلوچارت از تکنیک های مختلف حل چندفیزیکی تهیه کنیم. همان مشکل پست قبلی وبلاگ ما را در مورد شینه ای که به دلیل جریان جریان گرم می شود و تنش های حرارتی را تجربه می کند، در نظر بگیرید .

رویکرد کاملاً جفت شده

ابتدا، حل کننده کاملاً جفت شده از یک حدس اولیه شروع می کند و تکرارهای نیوتن رافسون را تا زمانی که راه حل همگرا شود اعمال می کند:

هنگام حل چنین مشکلی، یک نمودار همگرایی دریافت خواهید کرد که نشان می دهد تخمین خطا بین تکرارهای نیوتن-رافسون کاهش می یابد. در حالت ایده‌آل، اگر خطا همگرا شد، باید به صورت یکنواخت کاهش یابد، سپس شروع به بررسی افزایش بارها، غیرخطی‌ها یا کوپلینگ‌های چندفیزیکی کنید. این رویکرد تقریباً همیشه به یک حل‌کننده مستقیم با حافظه فشرده‌تر برای حل سیستم خطی معادلات در هر مرحله نیوتن-رافسون نیاز دارد.

رویکرد تفکیک شده

اکنون، رویکرد کاملاً جفت شده را با رویکرد تفکیک شده مقایسه کنید، که هر فیزیک را به صورت متوالی تا زمان همگرایی حل می کند:

برای چنین مسئله ای نوع دیگری از نمودار همگرایی دریافت خواهید کرد، نموداری که خطای مرتبط با هر فیزیکی را که در حال حل آن هستید نشان می دهد. هر یک از علم فیزیک می تواند از حل کننده بهینه، اعم از تکرار شونده مستقیم یا کم حافظه، برای حل سیستم خطی معادلات استفاده کند. هر مرحله تفکیک شده می تواند به تنهایی یک مسئله غیرخطی باشد، و می تواند تا یک تلورانس مورد نظر و با میرایی سفارشی حل شود، همانطور که برای ترکیب خاصی از مسئله فیزیک حل می شود.

با این روش حل، حداقل دو نمودار همگرایی دریافت خواهید کرد، یکی برای حل کننده(های) تکراری که احتمالاً در یک مرحله تفکیک شده استفاده می شود، و دومی برای همگرایی کلی رویکرد تفکیک شده:

نمودار بالا کاهش خطا را برای هر فیزیک نشان می دهد. اگرچه ممکن است تکرارهای بیشتری برای یک مسئله مورد نیاز باشد، اما هر حلقه از طریق روش حل تفکیک شده می تواند بسیار سریعتر از مرحله نیوتن-رافسون مورد نیاز برای رویکرد کاملاً جفت شده باشد. شما همچنین می توانید کمی اطلاعات بیشتر از این به دست آورید، اگر فقط یک یا دو فیزیک همگرا نیستند، ابتدا می خواهید تنظیمات اینها را بررسی کنید.

مرحله حل متوالی

چیزی که ممکن است در مورد این مشکل به خاطر بیاورید این است که تغییر دما توسط گرمایش مقاومتی جریان ایجاد می شود و توزیع جریان به رسانایی الکتریکی بستگی دارد که وابسته به دما است. یعنی محلول های ولتاژ و دما به صورت دو جهته جفت می شوند. از سوی دیگر، اگرچه کرنش حرارتی و مدول یانگ به دما بستگی دارد، محلول های ولتاژ و دما به جابجایی ها یا تنش ها بستگی ندارند. یعنی یک جفت یک طرفه از مشکل حرارتی به مشکل ساختاری وجود دارد. ما بلافاصله می توانیم ببینیم که راه کارآمدتری برای حل این مشکل وجود دارد. می توانیم ابتدا مسئله ولتاژ و دما را حل کنیم و سپس جابجایی ها را حل کنیم:

بنابراین، می‌توانیم ببینیم که (حداقل) سه راه مختلف برای حل این مشکل وجود دارد: کاملاً جفت‌شده، تفکیک‌شده و با فرض جداسازی جفت‌ها بین تمام فیزیک‌ها، یا با یک گام حل متوالی برای استفاده از جفت شدن یک‌جهت. بین دما و جابجایی هنگام حل یک مسئله چندفیزیکی، COMSOL جفت شدن بین تمام فیزیک ها را فرض می کند و سعی می کند رویکرد بهینه کاملاً جفت یا جدا شده را بر اساس فیزیک و اندازه مسئله انتخاب کند. البته همیشه آموزنده است که به تنظیمات حل کننده بروید تا ببینید نرم افزار چه تنظیماتی را انتخاب کرده است.

نتیجه گیری از سری وبلاگ حل

این سری از پست‌ها برای درک الگوریتم‌های مورد استفاده در COMSOL برای حل مسائل خطی و غیرخطی تک‌فیزیکی و چندفیزیکی طراحی شده‌اند. مسائلی مانند مش بندی، دقت و همگرایی پوشش داده شده است. با این اطلاعات، باید بتوانید با اطمینان بیشتری به راه حل های مدل های خود از این نوع بپردازید.