بارگذاری مسایل غیرخطی

همانطور که قبلا در وبلاگ در مورد حل مسائل المان محدود استاتیک غیرخطی دیدیم ، همه مسائل غیرخطی از طریق روش نیوتن-رافسون میرا قابل حل نیستند. به طور خاص، انتخاب یک شرط اولیه نامناسب یا راه‌اندازی یک مسئله بدون راه‌حل، به سادگی باعث می‌شود که حل‌کننده غیرخطی بدون هم‌گرایی به تکرار ادامه دهد. در اینجا ما یک رویکرد قوی تر برای حل مسائل غیرخطی معرفی می کنیم.

یادداشت سردبیر: اطلاعات موجود در این پست وبلاگ با این ورودی پایگاه دانش جایگزین شده است: ” بهبود همگرایی مدل های ثابت غیرخطی”

مثالی از یک مسئله غیرخطی

دوباره سیستم نیروی وارد شده به فنری با سختی غیرخطی را در نظر بگیرید:

ما می توانیم این مشکل را با روش نیوتن-رافسون میرا حل کنیم به شرطی که یک شرایط اولیه مناسب را انتخاب کنیم (قبلاً ما انتخاب کردیم). در ورودی وبلاگ دیگر ، متوجه شدیم که انتخاب یک شرط اولیه خارج از شعاع بر روی همگرایی، هر نقطهبرای مثال باعث از کار افتادن حل کننده می شود. اکنون، برای این مسئله تک درجه آزادی، ما می‌توانیم به راحتی شعاع همگرایی را تعیین کنیم، اما برای مسائل المان محدود معمولی، بسیار سخت‌تر است. بنابراین به جای تلاش برای یافتن شعاع همگرایی، بیایید در عوض کمی از شهود فیزیکی برای این مشکل استفاده کنیم.

بارگذاری شیب دار استحکام را بهبود می بخشد

در اینجا ما در حال اعمال یک بار هستیم،، به یک سیستم و ما در تلاش هستیم تا با شروع از یک شرایط اولیه راه حلی پیدا کنیم،. اما اگر یک بار اعمال کنیم چه اتفاقی می افتد? قانون اول نیوتن به ما می گوید که یک سیستم بدون بار هیچ تغییر شکلی نخواهد داشت. بنابراین اگر بارگذاری را اعمال کنیم چه اتفاقی می افتد،، از قدر بی نهایت بزرگتر از صفر؟ منطقی است که فرض کنیم روش نیوتن-رافسون، با شروع از، قادر به یافتن راه حل خواهد بود،. همچنین منطقی است که بگوییم پس از آن می توانیم بار را به آن افزایش دهیمبه طوری کهو دوباره راه حل پیدا کنید، تا زمانی که افزایش بار به اندازه کافی کوچک باشد. با تکرار این الگوریتم در نهایت به بار نهایی می رسیم، و راه حل مورد نظر ما. یعنی با شروع از بار صفر و راه حل صفر، به تدریج بار را افزایش می دهیم تا به بار کلی مورد نظر برسیم. این رویه در شکل زیر نشان داده شده است. فلش‌های تیره نشان می‌دهند که تکرارهای نیوتن-رافسون برای یک مقدار بار خاص از کجا شروع می‌شوند.

از این الگوریتم به عنوان یک روش ادامه دهنده بر روی بار نیز یاد می شود. این افزایش تدریجی بار از مقدار نزدیک به صفر اغلب یک رویکرد قوی تر برای حل مسائل غیرخطی از طریق روش نیوتن میرا است، زیرا راه حل های قبلی حدس های اولیه خوبی برای مرحله بعدی هستند.

با این الگوریتم، ما نه تنها راه خوبی برای پرداختن به موضوع یافتن نقطه شروع خوب برای تکرارهای نیوتن رافسون داریم، بلکه الگوریتمی داریم که برای مسئله ای که راه حل ندارد مفید است. دوباره مشکل را در نظر بگیرید که در آن فنر با کشیده شدن ضعیف تر می شود، کجاهمانطور که قبلا بحث شد. این مشکل راه حلی ندارد. در این صورت می‌توانیم آن را برای هر باری به صورت تحلیلی تعیین کنیمهیچ راه حلی وجود ندارد اما اگر از بار کمتری استفاده کنیم، سیستم پایدار است. در واقع، در سناریوی ما، سیستم دو پایدار است. دو راه حل برای هر بار وجود دارد. اگرچه، ما احتمالاً فقط به شاخه ای علاقه مندیم که از آن شروع کنیمو. بگذارید نقشه بکشیم:

حال بیایید همچنین فرض کنیم که نمی دانیم اوج بار ممکن استو بررسی کنید که وقتی COMSOL سعی می کند این مشکل را حل کند چه اتفاقی می افتد. اگر نقشه بکشیمبرایما می بینیم که برایهیچ راه حلی برای یافتن وجود ندارد سپس حل‌کننده ادامه در COMSOL به طور خودکار جستجویی را در فاصله بین آخرین مقدار بار موفق و مرحله بارگذاری بعدی مورد نظر انجام می‌دهد. یعنی حل کننده سعی می کند برای یافتن یک راه حل میانی که می تواند به عنوان یک مقدار شروع برای مرحله بعدی استفاده شود، به عقب برگردد. این الگوریتم همیشه زمانی استفاده می شود که ویژگی روش ادامه (یا ویژگی Sweep پارامتری ) روی یک پارامتر واحد در هنگام حل یک مسئله ثابت استفاده شود. در آن صورت، حل کننده قادر خواهد بود بار تقریبی خرابی سیستم را پیدا کند که این نیز اطلاعات بسیار مفیدی است.

خلاصه و نتیجه گیری

اکنون مفهوم رمپینگ بار و استفاده از روش ادامه برای بهبود استحکام روش نیوتن را معرفی کرده ایم. از آنجایی که یک سیستم بدون بار راه حل شناخته شده ای دارد، دیدیم که این تکنیک می تواند این سوال را که چه مقدار برای شرایط اولیه انتخاب شود را از بین ببرد. همچنین متوجه شدیم که امکان یافتن تقریباً بار شکست وجود دارد. به این دلایل، رمپینگ بار یکی از تکنیک های مهمی است که باید هنگام تنظیم و حل مسائل المان محدود استاتیک غیرخطی آن را درک کنید.

فایل لاگ COMSOL

بیایید نگاهی به یک فایل گزارش از یک مسئله اجزای محدود غیرخطی بیندازیم. ما مشکلی را که در بالا توضیح داده شد، راه اندازی و حل می کنیم، یک فنر غیر خطی که با کشیدن آن ضعیف تر می شود. می دانیم که این مشکل راه حلی ندارد، پس بیایید ببینیم چه اتفاقی می افتد:

حل ثابت 1 در حل کننده 1 در 15-ژوئیه-2013 ساعت 11:26:46 شروع شد.
حل کننده پارامتریک
حل کننده غیر خطی
تعداد درجات آزادی حل شده برای: 1.

پارامتر P = 0.2.
ماتریس های متقارن یافت شد.
مقیاس برای متغیرهای وابسته:
متغیر حالت u (mod1.ODE1): 1
Iter ErrEst Damping Stepsize #Res #Jac #Sol
   1 0.18 1.0000000 1 2 1 2
   2 0.013 1.0000000 0.22 3 2 4
   3 6.5e-005 1.0000000 0.015 4 3 6
پارامتر P = 0.3.
Iter ErrEst Damping Stepsize #Res #Jac #Sol
   1 0.025 1.0000000 0.21 7 4 9
   2 0.00069 1.0000000 0.031 8 5 11
 
پارامتر P = 0.4.
Iter ErrEst Damping Stepsize #Res #Jac #Sol
   1 0.89 1.0000000 2.7 11 6 14
   2 0.3 0.8614583 0.76 12 7 16
   3 0.2 0.8154018 0.43 13 8 18
   4 0.31 0.4194888 0.42 14 9 20
   5 0.86 0.0836516 0.9 15 10 22
پارامتر P = 0.325.
Iter ErrEst Damping Stepsize #Res #Jac #Sol
   1 0.089 1.0000000 0.4 18 12 26
   2 0.014 1.0000000 0.13 19 13 28
   3 0.0003 1.0000000 0.018 20 14 30
 
پارامتر P = 0.375.
Iter ErrEst Damping Stepsize #Res #Jac #Sol
   1 0.099 1.0000000 0.32 23 15 33
   2 0.079 0.9390806 0.19 24 16 35
   3 0.2 0.3028345 0.24 25 17 37
   4 0.94 0.0302834 0.95 26 18 39

... برخی از بخش های این فایل log حذف شده است ...

پارامتر P = 0.368359.
Iter ErrEst Damping Stepsize #Res #Jac #Sol
   1 0.046 1.0000000 0.057 80 49 112
   2 0.061 0.3013806 0.072 81 50 114
حل ثابت 1 در حل کننده 1: زمان حل: 0 ثانیه
                                 حافظه فیزیکی: 471 مگابایت
                                 حافظه مجازی: 569 مگابایت

حل کننده نیز یک خطا را گزارش می کند:

برای همه پارامترها راه حلی پیدا نشد،
حتی زمانی که از مرحله حداقل پارامتر استفاده می کنید.
بدون همگرایی، حتی با استفاده از حداقل ضریب میرایی.
راه حل برگشتی همگرا نیست.

ابتدای فایل log مانند قبل است، با این تفاوت که حل کننده اکنون گزارش می دهد که حل کننده پارامتری در حال فراخوانی است. ما می بینیم که، برایو، حل کننده کامل می کند. برای، حل کننده با شکست مواجه می شود و سپس به طور خودکار برای یافتن نقاط میانی حل کننده به عقب برمی گردد. برخی از مراحل میانی برای اختصار حذف شده‌اند، اما می‌بینیم که حل‌کننده پارامتری به حل تحلیلی برای بار اوج بسیار نزدیک می‌شود. از این اطلاعات، می‌توانیم مشکل را با مجموعه‌ای از پارامترهای متفاوت حل کنیم و با نزدیک شدن به بار شکست، که اغلب اطلاعات مفیدی است، عملکرد سیستم را بهتر درک کنیم.